Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

№ 437. Написать уравнение гиперболы, проходящей через фокусы эл-
липса
x
2
169
+
y
2
144
= 1 и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса.
Р е ш е н и е
Из уравнения эллипса следует, что вершинами эллипса являются точ-
ки (±13; 0) и (0; ±12), поэтому a = 13, b = 12 (рис. 3.7) и, следо-
вательно, c
2
= a
2
− b
2
= 13
2
− 12
2
= 25, поэтому c = 5.
Из условия задачи следует, что a = c = 5, c = a = 13, b
2
= c
2
− a
2
,
то есть b
2
= 169−25 = 144, откуда b = 12 и, следовательно, уравнение
гиперболы имеет вид
x
2
25
−
y
2
144
= 1.
№ 439
∗
. Зная уравнения асимптот гиперболы y = ±
1
2
x и одну из ее
точек M (+12; +3
√
3), составить уравнение гиперболы.
Р е ш е н и е
Из уравнения асимптот y = ±
1
2
x следует, что
b
a
= ±
1
2
, откуда
a = ±2b. Подставим полученное выражение в уравнение гиперболы. По-
лучим
x
2
4b
2
−
y
2
b
2
= 1. Так как точка M лежит на гиперболе, то ее коор-
динаты удовлетворяют последнему уравнению, поэтому
12
2
4b
2
−
27
b
2
= 1,
откуда b
2
= 9, и, следовательно, a
2
= 36. Таким образом, уравнение
гиперболы имеет вид
x
2
36
−
y
2
9
= 1.
№ 443. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой:
1) эксцентриситет e = 2;
2) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между дирек-
трисами.
Р е ш е н и е
1) Так как e =
c
a
, b
2
= c
2
− a
2
, то c
2
= a
2
+ b
2
, y = ±
b
a
x. Таким
образом, e =
c
a
=
√
b
2
+ a
2
a
=
v
u
u
t
(
b
a
)
2
+ 1 = 2, откуда
b
a
!
2
+ 1 = 4 и,
18
   № 437. Написать уравнение гиперболы, проходящей через фокусы эл-
        x2    y2
липса      +      = 1 и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса.
       169 144
                                Решение
   Из уравнения эллипса следует, что вершинами эллипса являются точ-
ки (±13; 0) и (0; ±12), поэтому a = 13, b = 12 (рис. 3.7) и, следо-
вательно, c2 = a2 − b2 = 132 − 122 = 25, поэтому c = 5.
   Из условия задачи следует, что a = c = 5, c = a = 13, b2 = c2 − a2 ,
то есть b2 = 169 − 25 = 144, откуда b = 12 и, следовательно, уравнение
                       x2   y2
гиперболы имеет вид       −    = 1.
                       25 144
                                                    1
   № 439∗ . Зная уравнения асимптот гиперболы y = ± x и одну из ее
                  √                                 2
точек M (+12; +3 3), составить уравнение гиперболы.
                                Решение
                                   1               b      1
   Из уравнения асимптот y = ± x следует, что         = ± , откуда
                                   2               a      2
a = ±2b. Подставим полученное выражение в уравнение гиперболы. По-
       x2     y2
лучим       −    = 1. Так как точка M лежит на гиперболе, то ее коор-
       4b2 b2
                                                      122 27
динаты удовлетворяют последнему уравнению, поэтому        − 2 = 1,
                                                      4b2    b
откуда b = 9, и, следовательно, a = 36. Таким образом, уравнение
         2                           2

                        x2 y 2
гиперболы имеет вид        −    = 1.
                        36    9

   № 443. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой:
1) эксцентриситет e = 2;
2) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между дирек-
трисами.
                             Решение
                  c                                         b
   1) Так как e = , b2 = c2 − a2 , то c2 = a2 + b2 , y = ± x. Таким
                  a
                  √          v                              a
                     2   2   u                           !2
              c     b +a     u b                       b
образом, e = =             = t( )2 + 1 = 2, откуда          + 1 = 4 и,
              a        a       a                       a


                                  18

Страницы