Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

коэффициенты при соответствующих неизвестных должны быть пропор-
циональны, поэтому
4
a
2
1
=
2
y
2
1
=
1
2
, откуда
4
a
2
=
2
b
2
=
1
2
и a
2
= 8, b
2
= 4,
то есть уравнение гиперболы имеет вид
x
2
8
−
y
2
4
= 1.
№ 464. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимп-
тот y = ±
1
2
x и уравнение одной из ее касательных: 5x −6y − 8 = 0.
Р е ш е н и е
Так как y = ±
1
2
x — асимптоты, то
b
a
=
1
2
, откуда a = ±2b. Пусть
прямая a — касательная к эллипсу, тогда ее уравнение должно удовле-
творять системе
5x − 6y − 8 = 0
x · x
1
a
2
−
y · y
2
1
b
2
= 1
, откуда
5x − 6y − 8 = 0
8x
1
a
2
x −
8y
2
1
b
2
y − 8 = 0
,
то есть
x
1
=
5
8
a
2
y
1
=
3
4
b
2
или
x
1
=
5
2
b
2
y
1
=
3
4
b
2
. Подставим найденные значения
для x
1
и y
1
и выражение a через b в уравнение гиперболы, получим
(
5
2
b
2
)
2
4b
2
−
(
3
4
b
2
)
2
b
2
= 1, откуда
25
16
b
2
−
9
16
b
2
= 1, поэтому b
2
= 1, a
2
= 4
и, следовательно, ура внение гиперболы имеет вид
x
2
4
− y
2
= 1.
№ 480. Составить уравнение параболы, зная, что:
1) ра сстояние фокуса от вершины равно 3;
2) фокус имеет координаты (+5; 0), а ось ординат служит директрисой;
3) парабола симметрична относительно оси x, проходит через начало
координат и через т очку M (+1; −4);
4) парабола симметрична относительно оси y, фокус помещается в точке
(0; +2), и вершина совпадает с началом координат;
5) парабола симметрична относительно оси y, проходит через начало
координат и через т очку M (+6; −2).
20
коэффициенты при соответствующих неизвестных должны быть пропор-
                     4    2
                      2   y2  1         4     2    1
циональны, поэтому  a   =    = , откуда 2 = 2 = и a2 = 8, b2 = 4,
                    1     1   2         a    b     2
                                       x2 y 2
то есть уравнение гиперболы имеет вид     −     = 1.
                                       8    4

   № 464. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимп-
          1
тот y = ± x и уравнение одной из ее касательных: 5x − 6y − 8 = 0.
          2
                             Решение
                  1                      b  1
   Так как y = ± x — асимптоты, то         = , откуда a = ±2b. Пусть
                  2                      a 2
прямая a — касательная
                 
                         к эллипсу, тогда ее уравнение
                                               
                                                        должно удовле-
                                              
                  5x − 6y − 8 = 0
                                               5x − 6y − 8 = 0
                                               
творять системе  x · x1 y · y12      , откуда  8x1     8y12           ,
                 
                        −       =  1          
                                                    x −      y − 8 = 0
        
                    a2    
                             b2                   a2      b2
        
              5          
                                 5
        
        
        
        
          x1 = a2         
                          
                          
                          
                            x1 = b2
        
              8          
                                 2
то есть             или              . Подставим найденные значения
        
                         
                          
        
        
              3 2        
                          
                                3 2
         y1 = b
                          y1 = b
                          
               4                 4
для x1 и y1 и выражение a через b в уравнение гиперболы, получим
( 25 b2 )2 ( 34 b2 )2             25 2    9 2
       2
          −      2
                      = 1, откуда    b −    b = 1, поэтому b2 = 1, a2 = 4
   4b          b                  16     16
                                                       x2
и, следовательно, уравнение гиперболы имеет вид           − y 2 = 1.
                                                       4
    № 480. Составить уравнение параболы, зная, что:
1) расстояние фокуса от вершины равно 3;
2) фокус имеет координаты (+5; 0), а ось ординат служит директрисой;
3) парабола симметрична относительно оси x, проходит через начало
координат и через точку M (+1; −4);
4) парабола симметрична относительно оси y, фокус помещается в точке
(0; +2), и вершина совпадает с началом координат;
5) парабола симметрична относительно оси y, проходит через начало
координат и через точку M (+6; −2).


                                   20

Страницы