Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

следовательно,
b
a
!
2
= 3, то есть
b
a
= ±
√
3, поэтому tg α = ±
√
3 и
k
1
=
√
3, k
2
= −
√
3. Так как tg ψ =
√
3+
√
3
1−3
= −
√
3, то ψ = 120
o
.
2) Так как 2c = 2 · 2
a
e
, то c = 2
a
c
a
, поэтому c
2
= 2a
2
, то есть
b
2
+ a
2
= 2a
2
, откуда b
2
= a
2
, и, следовательно, ψ =
π
2
.
№ 451. Найти точки пересечения гиперболы
x
2
90
−
y
2
36
= 1 со следую-
щими прямыми:
1) x −5y = 0; 2) 2x + y −18 = 0; 3) x −y + 5 = 0; 4)
√
10x −5y + 15 = 0.
Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 1).
Нам надо решить систему
x
2
90
−
y
2
36
= 1
x − 5y = 0
, откуда
25y
2
90
−
y
2
36
= 1
x = 5y
и, следовательно,
y = ±2
x = ±10
.
Таким образом, получили две точки (10; 2) и (−10; −2).
№ 456. Написать уравнение прямой, которая касается гиперболы
x
2
5
−
y
2
4
= 1 в точке (+5; −4).
Р е ш е н и е
Уравнение касательной в точке (x
1
, y
1
) имеет вид
x · x
1
5
−
y · y
1
4
= 1,
откуда x + y = 1 и, следовательно, x + y − 1 = 0.
№ 462. Гипербола касается прямой x −y −2 = 0 в точке M (+4; +2).
Составить уравнение этой гиперболы.
Р е ш е н и е
Уравнение касательной к гиперболе, проходящей через точку M,
имеет вид
4
a
2
x −
2
b
2
y = 1. По условию задачи касательная задается
уравнением x−y−2 = 0. Так как это уравнения одной и той же прямой,
19
                  !
                b 2              b       √                      √
следовательно,      = 3, то есть   = ± 3, поэтому tg α = ± 3 и
     √         √a                a√ √          √
k1 = 3, k2 = − 3. Так как tg ψ = 3+  1−3
                                         3
                                           = −   3, то ψ = 120o .
                         a         a
   2) Так как 2c = 2 · 2 , то c = 2 c , поэтому c2 = 2a2 , то есть
                         e          a
                                                     π
b + a = 2a , откуда b = a , и, следовательно, ψ = .
 2    2    2           2   2
                                                      2
                                                   x2 y 2
   № 451. Найти точки пересечения гиперболы           −   = 1 со следую-
                                                   90 36
щими прямыми:
                                                       √
1) x − 5y = 0; 2) 2x + y − 18 = 0; 3) x − y + 5 = 0; 4) 10x − 5y + 15 = 0.

                              Решение

  Рассмотрим случай 1).                                
                              
                              
                              
                                  x2 y 2                
                                                        
                                                        
                                                            25y 2 y 2
                                     −    =1                     −    =1
  Нам надо решить систему        90 36      , откуда       90    36
                              
                                                       
                                                        
                                  x − 5y = 0                x = 5y
                    
                    
                   y = ±2
                    
и, следовательно,
                           .
                  x = ±10

  Таким образом, получили две точки (10; 2) и (−10; −2).

   № 456. Написать уравнение прямой, которая касается гиперболы
x2 y 2
   −    = 1 в точке (+5; −4).
 5    4
                              Решение
                                                      x · x 1 y · y1
   Уравнение касательной в точке (x1 , y1 ) имеет вид        −       = 1,
                                                        5       4
откуда x + y = 1 и, следовательно, x + y − 1 = 0.

  № 462. Гипербола касается прямой x − y − 2 = 0 в точке M (+4; +2).
Составить уравнение этой гиперболы.
                              Решение
  Уравнение касательной к гиперболе, проходящей через точку M ,
            4    2
имеет вид 2 x − 2 y = 1. По условию задачи касательная задается
           a     b
уравнением x−y −2 = 0. Так как это уравнения одной и той же прямой,




                                    19

Страницы