Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 5).
Так как парабола симметрична относительно оси y и проходит через
начало координат, уравнение параболы имеет вид x
2
= 2py. Подставим
в это уравнение координаты заданной точки, получим 6
2
= 2p(−2),
откуда p = −9 и, следовательно, x
2
= −18y — искомое уравнение
параболы.
№ 489. Найти точки пересечения параболы y
2
= 12x с эллипсом
x
2
25
+
y
2
16
= 1.
Р е ш е н и е
Очевидно, что точка пересечения параболы с эллипсом является ре-
шением системы уравнений
y
2
= 12x
x
2
25
+
y
2
16
= 1
, откуда
x
2
25
+
12x
16
= 1 и,
следовательно, 4x
2
+ 75x − 100 = 0.
Возможны два случая:
1) x
1
= −20 — две мнимые точки;
2) x
2
=
5
4
, откуда y = ±
√
15.
Таким образом, есть две точки пересечения
5
4
; ±
√
15
!
и две мнимые
точки.
№ 493. Через точку P (+5; −7) провести касательную к параболе
y
2
= 8x.
Р е ш е н и е
Уравнение касательной к параболе в точке касания (x
1
, y
1
) имеет
вид y · y
1
= 4(x + x
1
). Проверим, принадлежит ли точка P парабо-
ле: 49 6= 8 · 5 — нет. Подставим координаты точки P в уравнение
касательной: −7y
1
= 4(x
1
+ 5), откуда 4x
1
= −7y
1
− 20. Так как
точка (x
1
, y
1
) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы, поэтому y
2
1
= 8x
1
. Из последних двух уравнений
имеем
4x
1
= −7y
1
− 20
y
2
1
= 8x
1
и, следовательно, y
2
1
= −14y
1
− 40, откуда
21
                              Решение
   Рассмотрим случай 5).
   Так как парабола симметрична относительно оси y и проходит через
начало координат, уравнение параболы имеет вид x 2 = 2py. Подставим
в это уравнение координаты заданной точки, получим 6 2 = 2p(−2),
откуда p = −9 и, следовательно, x2 = −18y — искомое уравнение
параболы.

   № 489. Найти точки пересечения параболы y 2 = 12x с эллипсом
x2 y 2
   +     = 1.
25 16
                               Решение
   Очевидно, что точка пересечения
                             
                                    параболы с эллипсом является ре-
                               2
                              y = 12x
                             
                                                     x2 12x
шением системы уравнений  x2 y 2          , откуда     +     = 1 и,
                             
                                 +    =1            25   16
                               25 16
следовательно, 4x + 75x − 100 = 0.
                  2

   Возможны два случая:
1) x1 = −20 — две мнимые точки;
        5                √
2) x2 = , откуда y = ± 15.
        4                                              !
                                               5 √
   Таким образом, есть две точки пересечения     ; ± 15 и две мнимые
                                               4
точки.

    № 493. Через точку P (+5; −7) провести касательную к параболе
y 2 = 8x.
                               Решение
    Уравнение касательной к параболе в точке касания (x 1 , y1 ) имеет
вид y · y1 = 4(x + x1 ). Проверим, принадлежит ли точка P парабо-
ле: 49 6= 8 · 5 — нет. Подставим координаты точки P в уравнение
касательной: −7y1 = 4(x1 + 5), откуда 4x1 = −7y1 − 20. Так как
точка (x1 , y1 ) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют
уравнению
           параболы, поэтому y12 = 8x1 . Из последних двух уравнений
        
         4x1 = −7y1 − 20
имеем  2                  и, следовательно, y12 = −14y1 − 40, откуда
         y = 8x1
           1



                                  21

Страницы