Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

y
2
1
+ 14y
1
+ 40 = 0.
Возможны два случая:
1) y
1
= −4, откуда x
1
= 2 и −4y = 4(x + 2), то есть уравнение
касательной имеет вид x + y + 2 = 0;
2) y
1
= −10, откуда x
1
=
25
2
и −10y = 4(x +
25
2
), то есть уравнение
касательной имеет вид 2x + 5y + 25 = 0.
№ 494. Дана парабола y
2
= 4x и касательная к ней x + 3y + 9 = 0.
Найти точку их прикосновения.
Р е ш е н и е
Уравнение касательной имеет вид y ·y
1
= 2(x + x
1
) или 2x −y
1
·y +
+ 2x
1
= 0. С другой стороны, из условия задачи следует, что уравнение
касательной имеет вид x + 3y + 9 = 0. Так как это уравнения одной и
той же касательной, коэффициенты при неизвестных должны быть про-
порциональны, поэтому
2
1
=
−y
1
3
=
2x
1
9
, откуда y
1
= −6, x
1
= 9, то
есть (9; −6) — точка касания.
Задачи для самоподготовки
№ 376. Дано уравнение эллипса: 25x
2
+ 169y
2
= 4225. Вычислить
длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.
№ 377. Расстояния от одного из фокусов эллипса до концов его боль-
шой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого эл-
липса.
№ 380. Вершина треугольника, имеющего неподвижное основание, пе-
ремещается так, что периметр треугольника сохраняет постоянную ве-
личину. Найти траекторию вершины при условии, что основание равно
24 см, а периметр равен 50 см.
№ 383. Дан эллипс:
x
2
36
+
y
2
20
= 1. Написать уравнения его директрис.
№ 384. Прямые x = ±8 служат директрисами эллипса, малая ось
которого равна 8. Найти уравнение этого эллипса.
22
y12 + 14y1 + 40 = 0.
    Возможны два случая:
1) y1 = −4, откуда x1 = 2 и −4y = 4(x + 2), то есть уравнение
касательной имеет вид x + y + 2 = 0;
                         25                25
2) y1 = −10, откуда x1 =     и −10y = 4(x + ), то есть уравнение
                          2                 2
касательной имеет вид 2x + 5y + 25 = 0.

  № 494. Дана парабола y 2 = 4x и касательная к ней x + 3y + 9 = 0.
Найти точку их прикосновения.
                             Решение
   Уравнение касательной имеет вид y · y1 = 2(x + x1 ) или 2x − y1 · y +
+ 2x1 = 0. С другой стороны, из условия задачи следует, что уравнение
касательной имеет вид x + 3y + 9 = 0. Так как это уравнения одной и
той же касательной, коэффициенты при неизвестных должны быть про-
                        2 −y1      2x1
порциональны, поэтому =         =      , откуда y1 = −6, x1 = 9, то
                        1     3     9
есть (9; −6) — точка касания.


                    Задачи для самоподготовки

   № 376. Дано уравнение эллипса: 25x2 + 169y 2 = 4225. Вычислить
длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.
   № 377. Расстояния от одного из фокусов эллипса до концов его боль-
шой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого эл-
липса.
   № 380. Вершина треугольника, имеющего неподвижное основание, пе-
ремещается так, что периметр треугольника сохраняет постоянную ве-
личину. Найти траекторию вершины при условии, что основание равно
24 см, а периметр равен 50 см.
                      x2 y 2
   № 383. Дан эллипс:    +     = 1. Написать уравнения его директрис.
                      36 20
   № 384. Прямые x = ±8 служат директрисами эллипса, малая ось
которого равна 8. Найти уравнение этого эллипса.


                                   22

Страницы