Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ветствующей директрисы, зная, что центр эллипса совпадает с началом
координат.
Р е ш е н и е
Для решения этой задачи (рис. 3.5) воспользуемся следующими фор-
мулами:
r
1
= a + ex, r
2
= a − ex, r
1
+ r
2
= 2a, d
2
=
r
2
e
.
Так как r
1
= |F
1
M| =
√
49 + 5, 76 =
√
54, 76 = 7, 4;
r
2
= |F
2
M| =
√
1 + 2, 4
2
=
√
1 + 5, 76 =
√
6, 76 = 2, 6; то
a =
7, 4 + 2, 6
2
= 5; e =
a − r
2
x
=
5 − 2, 6
4
=
2, 4
4
= 0, 6 и, следовательно,
d
2
=
r
2
e
=
2, 6
0, 6
=
13
3
= 4
1
3
.
№ 406. Найти уравнения тех касательных эллипса 3x
2
+ 8y
2
= 45,
расстояние которых от центра эллипса равно 3.
Р е ш е н и е
Пусть (x
1
, y
1
) — точка касания. Очевидно, что уравнение касательной
имеет вид 3x
1
· x + 8y
1
· y − 45 = 0. Из условия задачи следует, что
3 =
45
q
9x
2
1
+ 64y
2
1
, откуда 3x
2
1
=
225 − 64y
2
3
. Так как точка (x
1
, y
1
)
лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса,
поэтому
225 − 64y
2
1
3
+ 8y
2
1
= 45, откуда 225 −64y
2
1
+ 24y
2
1
−135 = 0 и,
следовательно, y
2
1
=
9
4
, y
1
= ±
3
2
, а x
2
1
=
225 − 64 ·
9
4
9
= 9, x
1
= ±3,
поэтому мы получили четыре касательные, уравнения которых имеют
следующий вид: ±
x
5
± 8 ·
3
2
45
y − 1 = 0 или ±3x ± 4y − 15 = 0.
№ 411. Вывести условие, при котором прямая Ax + By + C = 0 каса-
ется эллипса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
16
ветствующей директрисы, зная, что центр эллипса совпадает с началом
координат.
                             Решение
  Для решения этой задачи (рис. 3.5) воспользуемся следующими фор-
мулами:
                                                                  r2
         r1 = a + ex,   r2 = a − ex,     r1 + r2 = 2a,     d2 =      .
                                                                  e
                              √            √
  Так как       r1 = |F1 M | = 49 + 5, 76 = 54, 76 = 7, 4;
                         √           √           √
          r2 = |F2 M | = 1 + 2, 42 = 1 + 5, 76 = 6, 76 = 2, 6;      то
     7, 4 + 2, 6          a − r2    5 − 2, 6 2, 4
a=               = 5; e =         =          =     = 0, 6 и, следовательно,
          2                  x          4      4
                               r2   2, 6 13      1
                         d2 =     =      =    =4 .
                               e    0, 6    3    3

   № 406. Найти уравнения тех касательных эллипса 3x2 + 8y 2 = 45,
расстояние которых от центра эллипса равно 3.
                                  Решение
   Пусть (x1 , y1 ) — точка касания. Очевидно, что уравнение касательной
имеет вид 3x1 · x + 8y1 · y − 45 = 0. Из условия задачи следует, что
         45                    2   225 − 64y 2
3=   q            , откуда  3x 1 =             . Так как точка (x1 , y1 )
     9x21 + 64y12                      3
лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса,
         225 − 64y12
поэтому              + 8y12 = 45, откуда 225 − 64y12 + 24y12 − 135 = 0 и,
             3
                                                        9
                      9          3          225 − 64 ·
следовательно, y12 = , y1 = ± , а x21 =                 4 = 9, x1 = ±3,
                      4          2               9
поэтому мы получили четыре касательные, уравнения которых имеют
                        3
                x
следующий вид: ± ± 8 · 2 y − 1 = 0 или ±3x ± 4y − 15 = 0.
                5      45

   № 411. Вывести условие, при котором прямая Ax + By + C = 0 каса-
             x2 y 2
ется эллипса 2 + 2 = 1.
             a     b

                                    16

Страницы