Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слага-
емые, получим
x −
p
2
!
2
+ y
2
= x
2
+ px +
p
2
4
,
x
2
− px +
p
2
4
+ y
2
= x
2
+ px +
p
2
4
,
y
2
− 2px = 0,
y
2
= 2px, (3.3)
где параметр p есть расстояние от фокуса до директрисы.
Уравнение (3.3) — каноническое уравнение параболы.
3.2. Свойства параболы
1
0
. Симметрия относительно оси (OX)
Пусть точка (x
0
, y
0
) принадлежит параболе. Тогда она удовлетворяет
уравнению
y
2
0
= 2px
0
.
Очевидно, что точка (x
0
, −y
0
) также удовлетворяет этому у равнению.
2
0
. Фокальный радиус-вектор любой точки параболы (рис. 3.2)
равен
r = x +
p
2
.
3
0
. Касательная к параболе (3.3) в точке касания (x
0
, y
0
) опре-
деляется уравнением
y · y
0
= p · (x + x
0
).
Упражнения
№ 375. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
1) полуоси его соответственно равны 4 и 2;
2) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5;
3) большая полуось равна 10 и эксцентриситет e = 0, 8;
4) малая полуось равна 3 и эксцентриситет e =
√
2
2
;
5) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже рав но 8.
13
  Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слага-
емые, получим             !
                        p 2                   p2
                     x−      + y 2 = x2 + px + ,
                        2                     4
                              2
                   2        p      2    2       p2
                  x − px + + y = x + px + ,
                            4                    4
                          2
                         y − 2px = 0,
                               y 2 = 2px,                        (3.3)
где параметр p есть расстояние от фокуса до директрисы.
   Уравнение (3.3) — каноническое уравнение параболы.

  3.2. Свойства параболы
  10 . Симметрия относительно оси (OX)
  Пусть точка (x0 , y0 ) принадлежит параболе. Тогда она удовлетворяет
уравнению
                               y02 = 2px0 .
Очевидно, что точка (x0 , −y0 ) также удовлетворяет этому уравнению.
  20 . Фокальный радиус-вектор любой точки параболы (рис. 3.2)
равен
                                p
                         r =x+ .
                                2
   30 . Касательная к параболе (3.3) в точке касания (x 0 , y0 ) опре-
деляется уравнением
                        y · y0 = p · (x + x0 ).



                             Упражнения

     № 375. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
1)   полуоси его соответственно равны 4 и 2;
2)   расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5;
3)   большая полуось равна 10 и эксцентриситет e = 0, 8;
                                                 √
                                                   2
4)   малая полуось равна 3 и эксцентриситет e =      ;
                                                  2
5)   сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже равно 8.

                                  13

Страницы