Асимптотические методы. Глушко А.В - 3 стр.

                                                 3
                                            Введение

       Калибровочные функции.                 Мы будем заниматься исследованием
пределов различных функций, в частности, предела функции f (ε) при
ε → ∞. Этот предел может зависеть от того, стремится ли ε → +∞ или
                                    1                 1
                                   −                 −
ε → −∞. Например, lim e             ε
                                        =0 ; lim e    ε
                                                          =∞.
                          ε → +∞            ε → −∞

       В дальнейшем мы будем предполагать, что все параметры выбраны
так, что ε >0 . Если предел f (ε ) при ε → ∞ существует, то имеет место
одна из трех возможностей f (ε ) → 0 , f (ε ) → A , 0 < A <∞ , f (ε ) → ±∞.
Чаще всего такая классификация оказывается не слишком удобной,
поскольку существует бесчисленное множество функций, стремящихся к
нулю при ε → 0 . Так,
                                                                                        1
                                                                                       −
       lim sin ε =0 ; lim (1 −cos ε ) =0 ; lim (ε −sin ε ) =0 ; lim e                   ε
                                                                                            =0 .
       ε → +∞           ε → +∞                       ε→ 0                     ε → +∞

      Точно также имеется бесконечно много функций, которые стремятся
к бесконечности при ε → 0 . Например,
                                                                          1
                        1                       1
                lim         =∞ ; lim   =∞ ; lim ε =∞ .                    ε
                ε → 0 sin ε   ε2 ε→ 0       ε→ 0
                           1 − −cos ε
                               2
     Чтобы уточнить вышеприведенную классификацию, мы будем
подразделять каждый из указанных классов функций в соответствии со
«скоростью», с которой они стремятся к нулю или бесконечности. Для
этого мы будем сравнивать скорость соответствующего убывания или
возрастания этих функций со скоростью стремления к нулю или
бесконечности известных функций. Эти функции сравнения называются
калибровочными функциями. Простейшими и наиболее употребляемыми
из них являются целые положительные степени параметра
ε : 1, ε , ε 2 , ε 3 , ... , а также его обратные степени ε −1 , ε −2 , ε −3 , ... . При
этом     известно,      что        для     малых                ε : 1>ε >ε 2 >ε 3 >ε 4 ...         и
ε −1 <ε −2 <ε −3 <ε −4 ... .
     Примеры скорости стремлений                            к    нулю     или     бесконечности
упомянутых функций.
     Используем разложения Тейлора.