Асимптотические методы. Глушко А.В - 4 стр.

                                                4

                         ε3 ε5 ε 7
       а)      sin ε =ε − + − +... , следовательно, sin ε → 0 , как ε ,
                         3! 5! 7!
              sin ε       �   ε2 ε4 �
поскольку lim       =lim � 1 − + +... � =1 .
          ε→ 0 ε     ε→ 0
                            � 3! 5! �
                               ε2 ε4
       б)     Далее: 1 −cos ε = − +..., следовательно, 1 −cos ε → 0 , как
                               2! 4!
                          1 −cos ε       � 1 ε2 �      1 1
ε 2 , поскольку lim                =lim   �   − +...� = = .
                     ε→ 0    ε 2    ε → 0 2!
                                            �  4! �    2! 2
       в) Далее: ε −sin ε → 0 как ε 3 , поскольку
                       ε3 ε5                         ε −sin ε        � 1 ε2 �    1
             ε −sin ε = − +...              и   lim           =lim �    − +...� = .
                       3! 5!                    ε→ 0    ε 2    ε → 0 3!
                                                                      �  5! �    3!
       Для того чтобы определить скорость, с которой стремится к нулю
     � 1�
exp � −�       при      ε → +0 , попытаемся применить правило Лопиталя и
      � ε�
увидим, что для любого n =0, 1,2,...
                                        1
                                       −
                           ε ε             xn        n!
                     lim n = lim               =lim      =0 .
                    ε → +0 ε   x =ε −1 → ∞ e
                                             x  x→ ∞ e x

     Таким образом, скорость стремления к нулю этой функции не может
быть сравнена с выбранными нами степенными калибровочными
функциями.
     Аналогичные результаты получаются при изучении скорости
стремления к бесконечности выписанных выше функций:
                                                         −1
                                   �    1 2       �                                � 1�
(sinε )
       −1                     −1
             → ∞ как ε ;           � 1 − ε −cos ε�            → −∞ как ε −4 ; exp � � → ∞
                                    �   2           �                               � ε�
быстрее любой ε −n , n ∈�. Приведенные рассуждения показывают, что
для получения достаточно полного набора калибровочных функций кроме
ε n , n ∈� необходимо включить в него функции вида
                          1
                 1                                            n       −n
                       −ε ε        1        �
                                            1   �� 1    1�
           e , eε
                    , ln , ln ln , � ln � , � ln �     и т.д.
                         ε       ε � ε� �         � ε
     Символы порядка. Вместо утверждения о том, что sin ε → 0 c той
же скоростью, что и ε , обычно говорят, что « sinε имеет порядок ε при