Асимптотические методы. Глушко А.В - 6 стр.

                                                              6

                                            (−1) n!ωn−1 =lim −n =−∞,
                                                                      n
                            n −ый член
                   lim                   = n
                   n→ ∞ ( n −1) −ый член
                                          ω (−1) (n −1)! n→ ∞ ω
                                                n −1



следовательно, ряд (1) расходится во всех ω.
     Как же использовать (1)? Вычислим остаток, получающийся при
усечении этого ряда на N -м члене. Заметим при этом, что отрезок ряда
                                                                                                                     N +1
                                                                                                          � x�
                                                                                                      1 −� − �
       (−1)
          n
 N
              xn                                                                                           � ω �
∑        ωn
                     есть геометрическая прогрессия с суммой
                                                                                                                 x
                                                                                                                            .
n =0
                                                                                                            1+
                                                                                                              ω
                             (−1) x +R� x, ω ,
                                                          n
                     ω    N                                       n
Отсюда следует, что     =∑             N (  )
                    ω +x n =0 ωn
                                              N +1                    N +1
                     � x�                        �    �  x
                 1 −� − �                        �    �−
�N ( x, ω) = ω − � ω      �                      �=   � ω                       ( −x) N +1
R                                                                             = N          ,
            ω +x            x                                x                 ω (ω +x )
                      1+                                  1+
                        ω                                   ω
                    ω    N
                            ( −1) N x n   (−x) N +1
или, окончательно,     =∑               + N         .
                   ω +x n =0 ωn          ω (ω +x )
         Подставим это в представление f (ω)

                                            (−1)
                                    ∞                                  n ∞
                               ωe−x      N
                      f (ω) =∫      dx =∑ n                               ∫x e
                                                                               n −x
                                                                                      dx +RN (ω) ,
                             0
                               ω +x     n =0 ω                            0


                             (−1)
                                  n                                                            ∞
                       N
                                      n!                         ( −1) N +1 x N +1e−x
              f (ω) =∑                     +RN (ω) , где RN (ω) = N ∫                 dx .
                      n =0       ωn                                 ω      0
                                                                             ω   + x
                                   1   1
Оценим RN (ω) . Т.к.                  < , то
                                  ω +x ω
                            1
                                        ∞
                                           x N +1e −x 1
                                                          ∞
                                                                      ( N +1)!
                                        ∫0 ω +x dx <ωN +1 ∫0 x e dx = ωN +1 .
                                                              N +1 −x
                   RN (ω) = N
                           ω
                             N
                                  (−1) n n!
Отсюда             f (ω) =∑                 +0 (ω−N +1 ) .                Итак,        ошибка,       обусловленная
                             n =0   ω N


усечением исходного ряда на N -м члене стремится к нулю при ω→ ∞
как ωN +1 . Поэтому, хотя ряд (1) расходится, первые N членов этого ряда
могут представлять                    f (ω) с ошибкой, которая может быть произвольно
малой с помощью выбора достаточно большого ω . Такой ряд называется