Асимптотические методы. Глушко А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
асимптотическим рядом типа Пуанкаре и обозначается как
()
(
)
0
1!
,
n
n
n
n
fωω
ω
∞
=
−
→∞
∑
! .
Асимптотическое разложение и последовательности. Как
отмечалось, существует множество функций, которые не могут быть
описаны рядами по степеням малого параметра
ε
. Для асимптотического
представления заданной функции не обязательно ограничиваться
степенями, логарифмами, экспонентами. Вместо этого можно
воспользоваться произвольной последовательностью функций общего
вида
(
)
n
δε
, удовлетворяющих условию
(
)
(
)
(
)
1
0
nn
δεδε
−
= при
ε
→+
.
Такая последовательность называется асимптотической
последовательностью . Примеры асимптотических последовательностей:
{}
()
{}
()
{}
()
{}
,,ln,sin,ctg,
n
nnn
n
n
ξ
εεεεε
−−


∈



!
.
В терминах асимптотических последовательностей мы может
определить и асимптотические разложения . Так, сумму вида
()
0
nn
n
a
δε
∞
=
∑
,
где
n
a
не зависят от
ε
, а
(
)
{}
n
δε
−
асимптотическая
последовательность, мы будем называть асимптотическим разложением
функции
(
)
f
ε
при
0
ε
→
, если
()()()
()
1
0
N
nnN
n
faO
εδεδε
+
=
=+
∑
, (2)
или
()()()
()
0
N
nnN
n
fao
εδεδε
=
=+
∑
, (3)
записывая это соотношением
()()
0
nn
n
fa
εδε
∞
=
∑
!
при
0
ε
→
.
При этом разложение (2) называется асимптотическим разложением с
квалифицированным остаточным членом , а разложение (3) называется
асимптотическим разложением с неквалифицированным остаточным
членом . 
                                                         7
асимптотическим рядом типа Пуанкаре и обозначается как
                                                       (−1)
                                                             n
                                                  ∞
                                                                 n!
                                   f (ω) �∑                           , ω → ∞.
                                                n =0     ω   n


     Асимптотическое разложение и последовательности.            Как
отмечалось, существует множество функций, которые не могут быть
описаны рядами по степеням малого параметра ε . Для асимптотического
представления заданной функции не обязательно ограничиваться
степенями, логарифмами, экспонентами. Вместо этого можно
воспользоваться произвольной последовательностью функций общего
вида δn (ε ) , удовлетворяющих условию δn (ε ) =0 (δn−1 (ε )) при ε → +0 .
Такая       последовательность   называется      асимптотической
последовательностью. Примеры асимптотических последовательностей:
       ��   ��ξn
{ε } , � ε�
  n

       � �
                   ,   {(ln ε ) }, {(sin ε ) }, {(ctg ε ) }, n ∈�.
                             −n               n                       −n




       В терминах асимптотических последовательностей мы может
                                                                                            ∞
определить и асимптотические разложения. Так, сумму вида                                   ∑ a δ (ε ) ,
                                                                                           n =0
                                                                                                  n n


где         an          не   зависят от                 ε,        а        {δn (ε )} − асимптотическая
последовательность, мы будем называть асимптотическим разложением
функции f (ε ) при ε → 0 , если
                                                  N
                                    f (ε ) =∑ anδn (ε ) +O (δN +1 (ε )) ,                               (2)
                                                n =0

или
                                                  N
                                    f (ε ) =∑ anδn (ε ) +o (δN (ε )) ,                                  (3)
                                                n =0

записывая это соотношением
                                          ∞
                                  f (ε ) �∑ anδn (ε ) при ε → 0 .
                                         n =0

При этом разложение (2) называется асимптотическим разложением с
квалифицированным остаточным членом, а разложение (3) называется
асимптотическим разложением с неквалифицированным остаточным
членом.

Страницы