Асимптотические методы. Глушко А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Пусть
() ()() () ()()
0000
11
,,
nn
nn
nn
fzfzazzFzfzazz
εε
∞∞
==
=+−=−+−
∑∑
,
а
0
1
n
n
n
zzb
ε
∞
=
=+
∑
.
По доказанным в курсе математического анализа формулам Бурмана
- Лагранжа:
2
213
2
123
35
111
2
1
;;
aaa
a
bbb
aaa
−
==−= и т.д .
Но обычно коэффициенты находят методом неопределенных
коэффициентов.
Пример 2. Будем искать корни уравнения
)
2
3220
xxεε
−+++=
при малом
ε
. В случае
0
ε
=
имеем
)
)
2
32210
xxxx
−+=−−=
с
корнями
1,2
xx
==
. Исходное уравнение называется возмущенным, а при
0
ε
=
- невозмущенным или вырожденным уравнением .
Предположим, что искомые корни можно представить в виде
23
012
()
xxxxO
εεε
=+++ .
Подставим разложение в исходное уравнение
(
)
()
(
)
2
2323
012012
()32()20
xxxOxxxOεεεεεεεε
+++−++++++=
.
Раскроем скобки и перегруппируем по степеням
ε
(
)
)
(
)
2223
00011002121
322321232()0
xxxxxxxxxxxOεεε
−++−−+++−−+=
.
Приравняем нулю коэффициенты при последовательных степенях
ε
.
1)
0
0
1
2
x
x
=
=
.
2) Если
01111
123210;10,1
xxxxx
=−−+=+==−
.
3)
01222
1;1;21320;3
xxxxx
==−++−+==
;
23
13().
xO
εεε
=−++
Если
0
2
x
=
, аналогично имеем
23
233()
xO
εεε
=+−+
.
Пример 3. Исследуем уравнение
32
zz
ε
−=
, асимптотические
разложения корней которого могут содержать дробные степени
ε
.
1)
()
0
2
00
0
1.
0;10;
0().
z
zz
z
двукратныйкорень
ε
=
=−=
=−
                                                      9
           Пусть
                            ∞                                                  ∞
      f ( z ) = f ( z0 ) +∑ an ( z −z0 ) ,            F ( z, ε ) = f ( z0 ) −ε +∑ an ( z −z0 ) ,
                                               n                                              n

                            n =1                                               n =1

                 ∞
а z =z0 +∑ bnε n .
                n =1

           По доказанным в курсе математического анализа формулам Бурмана
                          1        a         2a 2 −a a
- Лагранжа: b1 =            ; b2 =− 23 ; b3 = 2 5 1 3 и т.д.
                         a1        a1             a1
     Но обычно коэффициенты находят методом неопределенных
коэффициентов.
           Пример 2. Будем искать корни уравнения x 2 −(3 +2ε ) x +2 +ε =0
при малом              ε . В случае ε =0 имеем                   x 2 −3 x +2 =( x −2 )( x −1) =0 с
корнями x =1, x =2 . Исходное уравнение называется возмущенным, а при
ε =0 - невозмущенным или вырожденным уравнением.
           Предположим, что искомые корни можно представить в виде
                                       x =x0 +ε x1 +ε 2 x2 +O(ε 3 ) .
           Подставим разложение в исходное уравнение

     (x    +ε x1 +ε 2 x2 +O (ε 3 ) ) −(3 +2ε )( x0 +ε x1 +ε 2 x2 +O (ε 3 ) ) +2 +ε =0 .
                                         2
       0

Раскроем скобки и перегруппируем по степеням ε
(x2
  0   −3 x0 +2 ) +ε (2 x0 x1−3 x1 −2 x0 +1) +ε 2 (2 x0 x2 +x12 −3 x2 −2 x1 ) +O (ε 3 ) =0 .
Приравняем нулю коэффициенты при последовательных степенях ε .
               � x =1
           1) � 0       .
                � x0 =2
           2) Если x0 =1              2 x1 −3x1 −2 +1 =0 ; x1 +1 =0 , x1 =−1 .
           3) x0 =1 ; x1 =−1 ; +2 x2 +1 −3 x2 +2 =0 ; x2 =3 ;
                x =1 −ε +3ε 2 +O (ε 3 ).
               Если x0 =2 , аналогично имеем x =2 +3ε −3ε 2 +O (ε 3 ) .
     Пример 3.    Исследуем уравнение z 3 −z 2 =ε , асимптотические
разложения корней которого могут содержать дробные степени ε .
                                                       �        z0 =1.
           1) ε =0;                z02 ( z0 −1) =0;        � z =0 −(двукратный корень).
                                                            � 0

Страницы