Асимптотические методы. Глушко А.В - 11 стр.

                                                11
                              1
                              7i 23
Следовательно, z2,3 =±iε − ε ± ε +0 (ε 2 ) .
                          1   2
                          2   8
                                                                          3
      Ответ: z1 =1 +ε −2ε +0 (ε ); z2,3              =±i ε − ε ± ε 2 +0 (ε 2 ).
                                  2         3               1   7i
                                                            2   8
      Пример 4. «Сингулярное возмущение»: ε x 2 +x +1 =0 , ε → +0 .
      В этом примере малый параметр стоит множителем при наибольшей
степени       x . Когда ε → 0 уравнение вырождается в уравнение первого
порядка x +1 =0 , имеющее только один корень. Таким образом, величина
x   претерпевает разрыв при                 ε =0 . Такую задачу принято называть
«задачей сингулярных возмущений».
     Естественно предположить, что один из корней уравнения следует
писать в виде разложения                        x =x0 +ε x1 +O (ε 2 )    (для упрощения
вычислений мы ограничимся нахождением только членов первого
порядка). Подставим разложение в уравнение
ε ( x0 +ε x1 +O (ε 2 ) ) +x0 +ε x1 +O (ε 2 ) +1 =0; x0 +1 +ε ( x1 +x02 ) +O (ε 2 ) =0;
                          2



            � x0 +1 =0;
             �                x0 =−1 ;          x1 =−1 ;       x =−1 −ε +O(ε 2 ).   .
               � x1 +x0 =0;
                      2


     Как найти второй корень? Для разработки модифицированной
процедуры, позволяющей это, обратимся к точному решению уравнения

                              x=
                                       1
                                      2ε
                                        (−1 ± 1 −4ε .      )                              (5)

Разложив         1 −4ε в ряд при ε → 0 , имеем                  1 −4ε =1 −2ε −2ε 2 +O (ε 3 ).
Подставим данное разложение в (5). Получим
      �       −1 +1 −2ε −2ε 2 +...
      �    x=                      =−1 −ε +O(ε 2 ) −известный корень;
      �               2ε
      �       −1 −1 +2ε +2ε 2 +...    1
      ��   x=                      =− +1 +ε +O (ε 2 ) − второй корень.
                      2ε             ε
      Таким образом, оба разложения – по степеням ε , но одно из них
начинается с ε −1 . В общем случае, когда точное решение неизвестно,
характер корней тоже не известен заранее и должен определяться в
процессе нахождения решения. Вместе с тем ясно, что при сохранении
порядка исходного уравнения, второй корень становится неограниченным