Асимптотические методы. Глушко А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Попытаемся построить разложение по целым степеням
ε
:
2
01
()
xxxO
εε
=++ . Подставим разложение в исходное уравнение
(
)
()
(
)
()
()
32
22
0101
22
01
()6()
112()60;
xxOxxO
xxO
εεεεε
εεεε
++−++++
++++−+=
,
32222
0010010010
xxxxxxxxxxOεεεεε
+−−−+++−+=
.
При
0
ε
:
32
000
61160
xxx
−+−=
. (7)
При
1
ε
:
22
0101000
3121120
xxxxxxx
−+−+=
. (8)
Уравнение (7) имеет вид :
(
)
(
)
(
)
000
1230
xxx
−−−=
, что дает
0
1;
x
=
0
2;
x
=
0
3
x
=
. Из уравнения (8) следует , что
()
2
22
00
001001
2
00
2
312112;.
31211
xx
xxxxxx
xx
−
−+=−=
−+
При
0
1
x
=
получаем
1
1
2
x
=−
и
2
1()
2
xO
ε
ε
=−+
; при
0
2
x
=
получаем
1
0
x
=
и
2
20()
xO
εε
=+⋅+ ; при
0
3
x
=
получаем
1
3
2
x
=
и
2
3
3()
2
xO
ε
ε
=++
.
Пример 6. Исследуем уравнение
(
)
(
)
322
45220
xxxεεε
−++−−+=
при
0
ε
→
.
Попытаемся вначале использовать разложение вида
2
01
()
xxxO
εε
=++ . Подставим в исходное уравнение
232222
010101
(())(4)(())(52)(())20
xxOxxOxxOεεεεεεεεε
++−++++−++−+=
или
(
)
32222
0000101010
4523852()0
xxxxxxxxxxOεε
−+−+−−+−+=
.
Приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях
ε
:
32
000
22
0101010
4520,(9)
38520.(10)
xxx
xxxxxxx
−+−=
−−+−=
Уравнение (9) можно преобразовать к виду
(
)
(
)
2
00
120
xx
−−=
,
откуда
0
1
x
=−
двукратный корень и
0
2
x
=−
однократный корень. Найдем 
                                             13
        Попытаемся построить разложение по целым степеням                                     ε:
x =x0 +ε x1 +O(ε 2 ) . Подставим разложение в исходное уравнение

                  (x    +ε x1+O(ε 2 ) ) −(6 +ε )( x0 +ε x1+O(ε 2 ) ) +
                                       3                              2
                    0
                                                                           ,
                    +(11 +2ε )( x0 +ε x1+O(ε ) ) −6 +ε =0;
                                                  2           2



     x03 +3ε x02 x1 −6 x02 −12 x0 x1 −ε x02 +11x0 +11ε x1 +2ε x0 −6 +O(ε 2 ) =0 .
При ε 0 :
                                     x03 −6 x02 +11x0 −6 =0 .                                 (7)
При ε1 :
                                3 x02 x1 −12 x0 x1 +11x0 −x02 +2 x0 =0 .                      (8)
        Уравнение (7) имеет вид :             ( x0 −1)( x0 −2 )( x0 −3) =0 ,       что дает
x0 =1 ; x0 =2 ;     x0 =3 . Из уравнения (8) следует, что
                                                     x02 −2 x0
               ( 0
                3 x 2
                      −12 x0 +11) 1 0 0 1 3x2 −12 x +11 .
                                 x =x 2
                                        −2 x ; x =
                                                   0       0

                        1                        ε
При x0 =1 получаем x1 =− и                 x =1 − +O (ε 2 ) ; при         x0 =2 получаем
                        2                        2
                                                                                          3
x1 =0      и   x =2 +0 ⋅ ε +O(ε 2 ) ;      при        x0 =3       получаем         x1 =        и
                                                                                          2
      3ε
x =3 + +O (ε 2 ) .
       2
     Пример 6. Исследуем уравнение
                x 3 −(4 +ε ) x 2 +(5 −2ε ) x −2 +ε 2 =0 при ε → 0 .
        Попытаемся           вначале        использовать            разложение            вида
x =x0 +ε x1 +O(ε 2 ) . Подставим в исходное уравнение
( x0 +ε x1+O (ε 2 ))3 −(4 +ε )( x0 +ε x1+O (ε 2 ))2 +(5 −2ε )( x0 +ε x1+O (ε 2 )) −2 +ε 2 =0
или x03 −4 x02 +5 x0 −2 +ε (3 x02 x1 −8 x0 x1 −x02 +5 x1 −2 x0 ) +O(ε 2 ) =0 .
Приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях ε :
                                 �      x03 −4 x02 +5 x0 −2 =0 ,                           (9)
                                 �
                                   � 3x0 x1 −8 x0 x1 −x0 +5 x1 −2 x0 =0.
                                       2                2
                                                                                          (10)

                                                                     ( x0 −1) ( x0 −2 ) =0 ,
                                                                               2
        Уравнение (9) можно преобразовать к виду
откуда x0 =1 −двукратный корень и x0 =2 − однократный корень. Найдем

Страницы