Асимптотические методы. Глушко А.В - 15 стр.

                                                                15
     Прежде чем приступить к нахождению остальных корней, отметим,
что при ε → 0 они будут стремиться к бесконечности, поскольку ε
входит множителем в член наивысшего порядка. Поэтому при выборе
разложений для этих корней примем, что их главные члены имеют вид
    y
x = ν +... , ν >0 . Подставим это разложение в исходное уравнение,
   ε
получим
                                             ε1−3ν y 3 +ε −ν y +2 +... =0 .                        (11)
                Для того чтобы определяющие члены в (11) компенсировали друг
                                                             1
друга, необходимо, чтобы                      1 −3ν =−ν ; ν = , поэтому    y 3 + y =0 ,
                                                             2
откуда                y =0     и    y =±i . Случай y =0 соответствует первому корню
исходного уравнения и поэтому здесь не рассматривается. При построении
разложений для второго и третьего корня воспользуемся полученной
                                                                                              1
                                                                                     y
информацией и будем искать разложение в виде x = 1 +x0 +O(ε ) , где                           2


                                                ε2
y =±i . Подстановка этого разложения в исходное уравнение дает
  �                 y 2 x0      1�                1
          y3                            y
ε�              +          +O(ε 2� ) + 1 +x0 +O(ε 2 ) +2 +ε =0 или
      �     3
                      ε            �
      � ε   2
                                     � ε2
                                         1

                                             (y       + y ) +3 y 2 x0 +x0 +2 +... =0 .
                                        −
                                   ε     2        3



                                                                   2
            y 3 + y =0 − выполнено; 3 y 2 x0 +x0 +2 =0 или x0 =− 2     =1.
                                                                3 y +1
Поэтому                 разложения                второго       и    третьего     корней   имеют   вид
                 −
                  1
                             � �1
x =±iε            2
                      +1 +0 � ε � 2 .
                              � �

                                         Уравнения высших порядков

     Рассмотрим уравнения высших порядков, причем особо нас будет
интересовать случай сингулярного возмущения. В частности, исследуем
уравнение ε x n =x m +am−1 x m−1 +am −2 x m−2 +... +a1 x1 +a0 , где коэффициенты
as не зависят от ε и x ; n и m - целые числа n >m . При ε =0 уравнение