Асимптотические методы. Глушко А.В - 17 стр.

                                                             17

                                        � y n ny n −1 x0 �
                                     ε � nν + ( n−1)ν +...   � =
                                         � ε     ε            �                                               (15)
                     y   m           m −1
                                  my x0            am−1 y m −1
                                                                am−1 (m −1) y m −2 x0
                   = mν          + ( m −1)ν +... + ( m−1)ν +                          +... .
                    ε             ε                 ε                 ε ( m −2)ν
        Выделяя                главные          члены,         получаем            ε (1−nν ) y n =ε −mν y m     и,
                                                                            1
следовательно,                 1 −nν =−mν , так что                  ν=        ; y n =y m .       Уравнение
                                                                          n −m
y n =y m         имеет корень 0                     кратности        m , кроме того,           y n−m =1 . Это
уравнение, как известно из теории функций комплексного переменного,
                                                                                          �  2π i�
имеет n −m корней вида y =ω, ω2 ,..., ωn−m , где ω =exp �                                          � . Корень
                                                                                          � n −m�
y =0 мы отбрасываем, так как он соответствует первым                                              m корням.
                    1
Используя, что ν =     и y n =y m , перепишем (15) в виде
                  n −m
                                 ny n −1 x0 my m−1 x0 am−1 y m −1
                             ε     ( n −1)ν
                                            = ( m−1)ν + ( m−1)ν +... ×ε nν ,
                                 ε           ε         ε
                 ny n −1 x0εν +1 =my m−1 x0εν ⋅ ε ( n−m )ν +am −1 y m−1εν ⋅ ε ( n −m )ν +... ,
так как ( n −m)ν =1 , то

        n −1            m −1                 m −1           am −1 y m −1         am −1
   ny          x0 =my          x0 +am −1 y          ; x0 = n −1          m −1
                                                                              =        , (т.к. y n =y m ) .
                                                          ny −my                n −m
        Таким образом, оставшиеся ( n −m) корней даются разложениями
                        ωr
                            + m −1 + 0 (εν ) , ν =
                              a                      1
                  x=      ν
                                                        , r =1, 2,..., n −m .
                        ε    n −m                  n −m

                                       Трансцендентные уравнения
                                                                              1
        Пример 8. Рассмотрим уравнение                                  tg x = .     Пусть        xn - корень
                                                                              x
                                                                                         π         π
уравнения,          удовлетворяющий                       неравенствам              π n −