Асимптотические методы. Глушко А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Асимптотические разложения интегралов, зависящих от большого
внешнего параметра
Метод Лапласа (одномерный случай)
Эвристические соображения . Интегралами Лапласа называются
интегралы вида
()()(())
b
a
FtfxetSxdx
=
∫
, (16)
где
()
Sx
- вещественнозначная функция ,
t
- большой положительный
параметр. Функция
()
fx
может принимать комплексные значения . Будем
считать для простоты , что
]
,
Iab
=
- конечный отрезок и что
(),()
fxSx
-
достаточно гладкие при
xI
∈
функции. Пусть
(
)
0
max()
xI
SxSx
∈
=
и
достигается только в точке
0
x
. Тогда
функция
(
)
exp()
tSx
имеет максимум
в точке
0
x
, который тем резче, чем
больше
t
. Интеграл
()
Ft
можно
приближенно заменить интегралом
по малой окрестности точки
максимума
0
x
и это приближение тем точнее, чем больше
t
. Далее в этой
окрестности функции
,
fS
можно приближенно заменить по формуле
Тейлора и мы получим интеграл, асимптотика которого легко вычисляется .
Этот метод был предложен Лапласом .
1) Пусть
0
axb
<<
. Тогда
(
)
/
0
0
Sx
=
и пусть для простоты
(
)
(
)
//
00
0,0
Sxfx
≠=
. Тогда
()
0
0
()()exp()
x
x
FtfxtSxdx
ε
ε
+
−
≈
∫
, где
0
ε
>
-
малое фиксированное число и
(
)
0
()
fxfx
≈
,
() ()
(
)
()
//
0
00
2
xx
SxSxSx
−
≈+
,
следовательно,
()()
(
)
//
2
0
00
()expexp
2
tSx
FtfxtSxtd
ε
ε
τ
−

≈




∫
.
()
tSx
e
0
a
0
x
b
x
                                                                  19
             Асимптотические разложения интегралов, зависящих от большого
                                                    внешнего параметра

                                       Метод Лапласа (одномерный случай)

     Эвристические соображения.                                         Интегралами Лапласа называются
интегралы вида
                                                            b
                                                  F (t ) =∫f ( x)e(tS ( x))dx ,                                         (16)
                                                            a

где           S ( x) - вещественнозначная функция,                               t - большой положительный
параметр. Функция f ( x) может принимать комплексные значения. Будем
считать для простоты, что I =[a, b ] - конечный отрезок и что f ( x), S ( x) -
                                                                   достаточно          гладкие         при             x ∈I
                                                                                              max S ( x) =S ( x0 ) и
                 tS ( x )
             e                                                     функции. Пусть
                                                                                                x∈I

                                                                   достигается только в точке x0 . Тогда
                                                                   функция exp (tS ( x) ) имеет максимум
                                                                   в точке x0 , который тем резче, чем
                                                                   больше t . Интеграл                  F (t ) можно

         0                  a     x0              b        x       приближенно заменить интегралом
                                                                   по   малой   окрестности  точки
максимума x0 и это приближение тем точнее, чем больше t . Далее в этой
окрестности функции f , S можно приближенно заменить по формуле
Тейлора и мы получим интеграл, асимптотика которого легко вычисляется.
Этот метод был предложен Лапласом.
              1) Пусть                 a 0 -
                                                                    x0 −ε



малое фиксированное число и f ( x) ≈ f ( x0 ) , S ( x ) ≈S ( x0 ) +
                                                                                                      ( x −x0 ) S //
                                                                                                                       ( x0 ) ,
                                                                                                          2
следовательно,
                                                                        ε
                                                                               � tS // ( x0 ) � 2
                                  F (t ) ≈ f ( x0 )exp �� tS ( x0�� )   ∫exp �� 2 t�� dτ .
                                                                        −ε

Страницы