Асимптотические методы. Глушко А.В - 21 стр.

                                                          21
       Доказательство. Имеем при t ≥t0
                         b
   F (t ) ≤ exp(tM ) ∫exp �� t0 ( S ( x) −M�� ) ⋅ exp       0 )( S ( x ) −M� )�
                                                   � � (t −t                   f ( x ) dx ≤
                     a
                                                          
                                                                                  =1
                                   b
  ≤ exp [tM ] exp (−t0 M ) ∫ f ( x ) exp [t0 S ( x )] dx =c / exp (t −t0 ) M ≤c exp tM .
                                   a

                                                Лемма Ватсона
       Рассмотрим интеграл Лапласа, в котором S ( x) - степенная функция
        a
Ф(t ) =∫x β −1 f ( x)exp (−txα ) dx , где 0 <α <∞ , β >0 , α >0 .
        0

                                            ∞                        β
                                                      α             −     1 �     β�
                                            ∫x e dx =t
                                              β −1 −tx
Нам понадобится формула                                              α
                                                                         ⋅ Г�       �       при t >0 .
                                            0
                                                                          2 �     α�
       Лемма 2 (Ватсона). Пусть                           α >0 , β >0 , f ( x) ∈C ∞ ([0; a ]) . Тогда
при t → ∞ справедливо асимптотическое разложение
                                    1 ∞ −(
                                                   k +β )
                                  � k +β� f (0)
                                           (k )
                             Ф(t ) � ∑ t �      .    α
                                                            Г�
                                    α k =0
                                   � α �    k!
Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз.
     Главный член асимптотики имеет вид
                                     1 � β�                                      −
                                                                                   p
                              Ф(t ) = Г � �               [ f (0) +O(1)]t         α
                                                                                        .                   (19)
                                     α � α�
       Доказательство.                 Разложим функцию                          f ( x)     в ряд Тейлора в
окрестности точки x =0 .
                   N
                         f ( k ) (0) k
            f ( x) =∑               x +rN ( x) ;                 rN ( x) ≤cN x N +1 ,        (0 ≤x ≤a ) .
                  k =o       k!
       Покажем, что при t → ∞
                              a                                            (k +β )
                                            exp (−tx ) dx = t                        +O (e −ct ) ,
                                                           1 −
                 Фk (t ) ≡∫x      k +β −1              α                     α

                              0
                                                           α
       где c >0 . Подставим Фk (t ) в виде разности интегралов по полуосям
                                                                                        1 � β� −k α+β
(0; +∞) и ( a; +∞) , тогда первый интеграл равен                                         Г� � t       . Так как
                                                                                        2 � α�
−xα ≥−aα >0 при x ≥a , то интеграл по полуоси ([a ; ∞) в силу леммы 1
есть   O (e −α ) , c >0           при           t → ∞. Тем самым представление для