Асимптотические методы. Глушко А.В - 23 стр.

                                                           23
                                                                                                 ∞
       Пример 9. Рассмотрим преобразование Лапласа F (t ) =∫f ( x )e −tx dx .
                                                                                                 0

       Пусть          f ( x) ∈C ∞ при малых x ≥0 и интеграл сходится абсолютно
                                                            ∞
при некотором t0 >0 . Тогда F (t ) �∑ t ( ) f ( k ) (0), (t → ∞) .
                                       − k +1

                                                           k −0

                                 ∞                                                    1
       Действительно,            ∫f ( x)e
                                              −tx
                                                    dx =O (e      −t
                                                                       ), а   F1 (t ) =∫f ( x )exp(−tx )dx -
                                 1                                                    0

интеграл, подходящий под условия леммы Ватсона при β =1, α =1
                                1 ∞ −k +1 � k +�1 f k (0) ∞ −(k +1) k
                       F1 (t ) = ∑ t 1 Г �      �        =∑ t      f (0) .
                                1 k =0     � 1�     k!    k =0



                               Основной случай метода Лапласа

       1. Вклад от граничной точки максимума
       Теорема 1.              Пусть         I =[a ; b ] - конечный отрезок и выполнены
условия:
       1о. max S ( x) достигается только в точке x =a ;
                x∈I
         о
       2.       f ( x), S ( x) ∈C ( I ) ;
       3о.      f ( x), S ( x) ∈C ∞ при x , близких к a и S / (a ) ≠0 .
                                                                       ∞
                                                       �                �
       Тогда при t → ∞:                F (t ) =exp � tS (a )∑ ck t −k −� 1 , причем коэффициенты
                                                    �       k =0          �
                                     � f ( x)�                    1 d
ck имеют вид ck =−M k �                  /    �          ; M =− /          .
                                      � S ( x� )    x =a
                                                               S  ( x ) dx
       Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз.
       Доказательство.                  Выберем δ                  такое, что             f ( x), S ( x) ∈C ∞ при
x ∈[a ; a +δ ] и положим F (t ) =F1 (t ) +F2 (t ) , где F1 (t ) - интеграл по отрезку
[a ; a +δ ] .   В силу леммы 1 интеграл F2 (t ) экспоненциально мал по
сравнению с exp (tS (a ) ) , так как exp [tS ( x) ] =exp tS (a ) ⋅ exp �� t ( S ( x) −S (a )�� ) ,

а так как S (a) =max S ( x) , то S ( x ) −S (a ) =S�( x ) : S�( x ) <−ε <0 при x ∈I .
                         x∈I

       Далее, интегрируя F1 (t ) по частям, получаем