Асимптотические методы. Глушко А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Пример 9. Рассмотрим преобразование Лапласа
0
()()
tx
Ftfxedx
∞
−
=
∫
.
Пусть ()
fxC
∞
∈ при малых
0
x
≥
и интеграл сходится абсолютно
при некотором
0
0
t
>
. Тогда
()
1
()
0
()(0),()
k
k
k
Fttft
∞
−+
−
∑
! .
Действительно,
()
1
()
txt
fxedxOe
∞
−−
=
∫
, а
1
1
0
()()exp()
Ftfxtxdx
=−
∫
-
интеграл, подходящий под условия леммы Ватсона при
1,1
βα
==
()
1
1
1
1
00
11(0)
()(0)
11!
k
k
k
k
kk
kf
FttГ tf
k
+
∞∞
−
−+
==
+

==


∑∑
.
Основной случай метода Лапласа
1. Вклад от граничной точки максимума
Теорема 1. Пусть
[
]
;
Iab
=
- конечный отрезок и выполнены
условия :
1
о
.
max()
xI
Sx
∈
достигается только в точке
xa
=
;
2
о
.
(),()()
fxSxCI
∈
;
3
о
.
(),()
fxSxC
∞
∈
при
x
, близких к
a
и
/
()0
Sa
≠
.
Тогда при
t
→∞
:
1
0
()exp()
k
k
k
FttSact
∞
−−
=

=


∑
, причем коэффициенты
k
c
имеют вид
//
()1
;
()()
k
k
xa
fxd
cMM
SxSxdx
=

=−=−


.
Это разложение можно дифференцировать по
t
любое число раз.
Доказательство. Выберем
δ
такое, что (),()
fxSxC
∞
∈ при
[
]
;xaa
δ
∈+
и положим
12
()()()
FtFtFt
=+
, где
1
()
Ft
- интеграл по отрезку
[
]
;aa
δ
+
. В силу леммы 1 интеграл
2
()
Ft
экспоненциально мал по
сравнению с
(
)
exp()
tSa
, так как
[
]
(
)
exp()exp()exp()()
tSxtSatSxSa
=⋅−


,
а так как
()max()
xI
SaSx
∈
=
, то
!!
()()():()0
SxSaSxSx ε
−=<−<
при
xI
∈
.
Далее, интегрируя
1
()
Ft
по частям, получаем 
                                                           23
                                                                                                 ∞
       Пример 9. Рассмотрим преобразование Лапласа F (t ) =∫f ( x )e −tx dx .
                                                                                                 0

       Пусть          f ( x) ∈C ∞ при малых x ≥0 и интеграл сходится абсолютно
                                                            ∞
при некотором t0 >0 . Тогда F (t ) �∑ t ( ) f ( k ) (0), (t → ∞) .
                                       − k +1

                                                           k −0

                                 ∞                                                    1
       Действительно,            ∫f ( x)e
                                              −tx
                                                    dx =O (e      −t
                                                                       ), а   F1 (t ) =∫f ( x )exp(−tx )dx -
                                 1                                                    0

интеграл, подходящий под условия леммы Ватсона при β =1, α =1
                                1 ∞ −k +1 � k +�1 f k (0) ∞ −(k +1) k
                       F1 (t ) = ∑ t 1 Г �      �        =∑ t      f (0) .
                                1 k =0     � 1�     k!    k =0



                               Основной случай метода Лапласа

       1. Вклад от граничной точки максимума
       Теорема 1.              Пусть         I =[a ; b ] - конечный отрезок и выполнены
условия:
       1о. max S ( x) достигается только в точке x =a ;
                x∈I
         о
       2.       f ( x), S ( x) ∈C ( I ) ;
       3о.      f ( x), S ( x) ∈C ∞ при x , близких к a и S / (a ) ≠0 .
                                                                       ∞
                                                       �                �
       Тогда при t → ∞:                F (t ) =exp � tS (a )∑ ck t −k −� 1 , причем коэффициенты
                                                    �       k =0          �
                                     � f ( x)�                    1 d
ck имеют вид ck =−M k �                  /    �          ; M =− /          .
                                      � S ( x� )    x =a
                                                               S  ( x ) dx
       Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз.
       Доказательство.                  Выберем δ                  такое, что             f ( x), S ( x) ∈C ∞ при
x ∈[a ; a +δ ] и положим F (t ) =F1 (t ) +F2 (t ) , где F1 (t ) - интеграл по отрезку
[a ; a +δ ] .   В силу леммы 1 интеграл F2 (t ) экспоненциально мал по
сравнению с exp (tS (a ) ) , так как exp [tS ( x) ] =exp tS (a ) ⋅ exp �� t ( S ( x) −S (a )�� ) ,

а так как S (a) =max S ( x) , то S ( x ) −S (a ) =S�( x ) : S�( x ) <−ε <0 при x ∈I .
                         x∈I

       Далее, интегрируя F1 (t ) по частям, получаем

Страницы