Асимптотические методы. Глушко А.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
функции ошибок
()
2
2
2
0
1(21)!!
(),
22
k
x
t
kk
k
x
k
e
Erfcxedtx
xx
∞
−
∞
−
=
−−
=→+∞
∑
∫
! . (22)
Делая замену переменной
txt
→
, получаем
22
1
()
xt
Erfcxxedt
∞
−
=
∫
.
В данном примере
2
()1,()
ftStt
≡=−
. Функция
Sx
достигает
максимума только при
1
t
=
и
/
(1)0
S
≠
. Применяя теорему 1, получаем
искомое разложение (22), в частности (по теореме 2):
()
2
()1(1)
2
x
e
Erfcxo
x
−
=+ .
Ряд (22) расходится при всех
x
.
2. Вклад от внутренней невырожденной точки максимума
Лемма 4. Пусть ()
SxC
∞
∈ в окрестности точки
0
x
, причем
(
)
(
)
(
)
/(1)()
000
...0,0
NN
SxSxSx
−
===≠
и
()
Sx
- вещественнозначная функция . Тогда существует отрезок
[
]
[
]
0102000
;,;,0,0,2
xy
IxxIlδδδδδ=−+=−>=
и функция
(
)
xy
ϕ
=
такие, что
1
о
.
(
)
(
)
(
)
(
)
()
00
,,sgn
NN
y
SySxyyISx
ϕεε=+∈=
.
2
о
. Функция
(
)
(
)
y
yCI
ϕ
∞
∈ взаимно однозначно отображает
отрезок
y
I
на отрезок
x
I
и
()
()
1
/
00
()
0
!
;
N
N
N
yx
Sx
ϕϕ


==


.
Доказательство. Пусть для определенности
(
)
()
0
0
N
Sx
>
. Тогда
()()
()
()
0
000
()
()(),0,()
!
N
N
Sx
SxSxxxhxhxhx
N
−=−>= при малых
0
xx
−
,
где
()
hxC
∞
∈
, так что функция
(
)
0
()
N
yxxhx
=−
принадлежит классу
∞
при малых
(
)
0
xx
−
и
(
)
/
0
0
yxx
−≠
. Из теоремы об обратной функции
следуют оба утверждения леммы .
Все остальные утверждения этого раздела следуют из леммы 4 и 
                                                 25
функции ошибок
                                   ∞
                                                                (−1)
                                                   2               k
                                      e−x               ∞
                                                                    (2k −1)!!
                     Erfc( x) =∫e dt � −t 2

                                       2x
                                                       ∑
                                                       k =0        2k x 2 k
                                                                              , x → +∞ .           (22)
                               x

                                                                                     ∞
       Делая замену переменной t → xt , получаем Erfc( x) =x ∫e −x t dt .
                                                                                            2 2



                                                                                      1

       В данном примере                f (t ) ≡1 , S (t ) =−t 2 . Функция           S ( x) достигает
максимума только при t =1 и S / (1) ≠0 . Применяя теорему 1, получаем
искомое разложение (22), в частности (по теореме 2):
                                                            2
                                        e−x
                             Erfc( x) =     (1 +o(1) ) .
                                         2x
       Ряд (22) расходится при всех x .

       2. Вклад от внутренней невырожденной точки максимума

       Лемма 4. Пусть S ( x ) ∈C ∞ в окрестности точки x0 , причем
                       S / ( x0 ) =... =S ( N −1) ( x0 ) =0 , S ( N ) ( x0 ) ≠0
и S ( x) - вещественнозначная функция. Тогда существует отрезок
                I x =[ x0 −δ1 ; x0 +δ2 ] , I y =[−δ0 ;δ0 ] , δ0 >0 , l =0,2
и функция x =ϕ ( y ) такие, что
       1о. S (ϕ ( y )) =S ( x0 ) +ε y N , y ∈I y , ε =sgn S ( N ) ( x0 ) .

       2о.      Функция ϕ ( y ) ∈C ∞ ( I y )                взаимно однозначно отображает
                                                                            1
                                                 �     N! �
                                                                            N

отрезок I y на отрезок I x и ϕ ( y ) =x0 ; ϕ0/ =� ( N )       �                 .
                                                   � S ( x0 )�
                                                    �           �
       Доказательство.           Пусть для определенности                   S ( N ) ( x0 ) >0 .   Тогда
                                                              S ( N ) ( x0 )
S ( x) −S ( x0 ) =( x −x0 )     h( x) , h ( x ) >0, h( x0 ) =
                            N
                                                                             при малых x −x0 ,
                                                                   N!
где h( x) ∈C ∞ , так что функция y =( x −x0 ) N h( x) принадлежит классу C ∞
при малых       ( x −x0 )     и y / ( x −x0 ) ≠0 . Из теоремы об обратной функции
следуют оба утверждения леммы.
     Все остальные утверждения этого раздела следуют из леммы 4 и

Страницы