Асимптотические методы. Глушко А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
Воспользуемся интегральным представлением
Г
- функции Эйлера
0
(1)
xt
xtedt
∞
−
Γ+=
∫
.
Метод Лапласа непосредственно не применим к этому интегралу , т.к.
подынтегральное выражение не приведено к стандартному виду (16).
Преобразуем интегральное представление
Γ−
функции, делая замену
txt
→
, тогда
()
1
0
(1)expln
x
xxxttdt
∞
+
Γ+=−


∫
. Последний интеграл имеет
стандартный вид (16), где
ftSttt
≡=−
. Функция
()
St
достигает
максимума на
[
]
0;
∞
только в точке
1
t
=
, причем
///
(1)0,(1)1
SS
==−
.
В силу леммы 1 можно заменить интегрирование по полуоси
интегрированием по любому конечному отрезку , содержащему внутри
себя точку
1
t
=
. Применяя теорему 3, получаем
[]
1
2
(1)10(1),
xx
xxe
x
π
+−
Γ+=⋅+⋅ или
(1)2(10(1))
xx
Гxxxeπ
−
+=⋅⋅+ ,
что и требовалось доказать.
Пример 12. Покажем , что при
n
→∞
:
[]
2
0
sin10(1)
2
n
xdx
n
π
π
=+
∫
.
Имеем
(
)
(
)
sinexplnsin
n
tnt
= , так что используемый интеграл имеет
стандартный вид метода Лапласа , где
(
)
,lnsin,()1
tnSxxfx
===
.
Функция
()
Sx
достигает максимума в точке
2
x
π
=
, причем
/
1
22
SS
ππ

==−


и асимптотика вычисляется по формуле из теоремы 4.
Замечание. Известно из справочников, что
()
2
2
0
21!!
sin
2!!2
n
n
tdt
n
π
π
−
=⋅
∫
при
2
n
≥
. Сравнивая последнее выражение с асимптотической формулой,
получаем формулу Валлиса
()
()
2
2!!
1
lim
21!!
n
n
nn
π
→∞

=

−

.
Пример 13. Найдем асимптотику при
n
→+∞
функции Бесселя 
                                                   27
Воспользуемся интегральным представлением Г - функции Эйлера
                                                     ∞
                                         Γ ( x +1) =∫t x e−t dt .
                                                      0

     Метод Лапласа непосредственно не применим к этому интегралу, т.к.
подынтегральное выражение не приведено к стандартному виду (16).
Преобразуем интегральное представление Γ −функции, делая замену
                                     ∞

                                     ∫exp �� x (ln t −t�� )
                              x +1
t → xt , тогда Γ ( x +1) =x                                   dt . Последний интеграл имеет
                                     0

стандартный вид (16), где f (t ) ≡1, S (t ) =ln t −t . Функция S (t ) достигает
максимума на [0;∞] только в точке t =1 , причем S / (1) =0 , S // (1) =−1 .
      В силу леммы 1 можно заменить интегрирование по полуоси
интегрированием по любому конечному отрезку, содержащему внутри
себя точку t =1 . Применяя теорему 3, получаем
                2π x +1
  Γ ( x +1) =      ⋅ x [1 +0(1)] ⋅ e−x , или Г ( x +1) = 2π x ⋅ x x ⋅ e −x (1 +0(1)) ,
                 x
что и требовалось доказать.
                                                                π
                                                                2
                                                                                π
      Пример 12. Покажем, что при n → ∞:                        ∫sin xdx =
                                                                    n
                                                                                   [1 +0(1)] .
                                                                0
                                                                                2n
      Имеем sin n t =exp (n ln (sin t )) , так что используемый интеграл имеет
стандартный вид метода Лапласа, где                             t =n , S ( x ) =ln sin x , f ( x) =1 .
                                                                                   π
Функция         S ( x)   достигает             максимума            в   точке    x= ,       причем
                                                                                   2
   � π�  � � π
S � � =� S � /  =−1 и асимптотика вычисляется по формуле из теоремы 4.
    � 2�  � � 2
                                                                        π
                                                                        2
                                                                                     (2n −1)!!       π
      Замечание. Известно из справочников, что                          ∫sin tdt =               ⋅
                                                                            2n

                                                                        0
                                                                                        2n!!         2
при n ≥2 . Сравнивая последнее выражение с асимптотической формулой,

                                 1 � (2n )!! �
                                                                    2

получаем формулу Валлиса π =lim �              � .
                            n→ ∞ n ( 2n −1)!!
                                    �           �
      Пример 13. Найдем асимптотику при n → +∞ функции Бесселя

Страницы