Асимптотические методы. Глушко А.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
()
cos
0
1
()cos
x
n
Ixend
π
θ
θθ
π
=
∫
,
где
1
n
≥
- целое. Здесь
cos,cos
fnS
==
и
[]
(
)
0;
max(0)1
SS
π
θ
==
,
///
(0)0,(0)1
SS
==−
. Применяя теорему 4, получаем
[]
()1(1),
2
x
n
e
Ixox
xπ
=+→+∞
.
Пример 14. Найдем асимптотику полинома Лежандра
()
2
0
1
()1cos
n
n
Pxxxd
π
θθ
π
=+−
∫
при
1,
xn
>→+∞
.
Предварительно будет решена следующая
Задача . Пусть
[
]
;
ab
- конечный отрезок, ()0,,
SxfSC
∞
>∈ и
пусть
()
Sx
достигает максимума только в точке
a
. Если
//
()0
Sa
≠
, то при
t
→∞
:
[]
(
)
[]
1
2
//
2
()()()()(1(1)).
2()
b
tt
a
f
ItfxSxdxSao
tSa
θ
π
+
==−+
∫
Действительно,
()
It
имеет стандартный вид
ln()
()().
b
tSx
a
Itfxedx
=
∫
()
/
/
()
ln(),
()
Sx
Sx
Sx
= откуда
()
/
ln()0;
xa
Sx
=
=
()
//3
//
2
()()()
ln()
()
SxSxSx
Sx
Sx
−
= ,
поэтому
()
//
//
()
ln()0.
()
xa
Sa
Sx
Sa
=
=<
По теореме 4 имеем
() ()
1
ln()
2
////
12()12
()()(1)()()(1)
2()2()
t
Sat
Sa
ItefaoSafao
tSatSa
ππ
+
=−+=−+
,
что и требовалось доказать.
Вернемся к примеру 14. Воспользуемся результатами задачи. В
данном случае
()
2
1cos,1
Sxxf
θθ
=+−⋅≡
, функция
()
Sx
достигает
максимума при
0
θ
=
и
2///2
(0)1;(0)0;(0)1
SxxSSx
=+−==−−
.
Отсюда
()
()
1
2
2
4
2
1
()1(1)
21
n
n
xx
Pxo
xπ
+
+−
=+
⋅−
.
Дополнительные стандартные методы 
                                                                28
                                                        π
                                                    1
                                         I n ( x ) = ∫e x cosθ cos (nθ ) dθ ,
                                                    π0
где    n ≥1 - целое. Здесь                        f =cos nθ , S =cosθ                и       max S (θ ) =S (0) =1 ,
                                                                                             [0; π ]

S / (0) =0 , S // (0) =−1 . Применяя теорему 4, получаем
                                                   ex
                                  I n ( x) =                [1 +o(1)] ,       x → +∞.
                                                   2π x
       Пример 14. Найдем асимптотику полинома Лежандра
                                 π                                   n
                           1
                                     (
                  Pn ( x) = ∫ x + x 2 −1cosθ dθ при x >1, n → +∞.
                           π0
                                                                   )
       Предварительно будет решена следующая
       Задача. Пусть              [a ; b ]       - конечный отрезок,                     S ( x) >0 , f , S ∈C ∞      и
пусть S ( x) достигает максимума только в точке a . Если S // ( a ) ≠0 , то при
                     b
                                                       f (θ )           2π               1
t → ∞: I (t ) =∫f ( x) [S ( x )] dx =                                         [ ] 2 (1 +o(1)).
                                            t                                          t+
                                                                     − //      S ( a )
                     a
                                                        2             tS (a )
                                                                                             b

       Действительно, I (t ) имеет стандартный вид I (t ) =∫f ( x )et ln S ( x ) dx .
                                                                                             a

               S / ( x)                                                               S // ( x) S ( x) −S 3 ( x)
(ln S ( x) ) =          , откуда (ln S ( x) )                      =0; (ln S ( x) ) =
           /                                 /                                      //
                                                                                                                 ,
               S ( x)                                       x =a                                S 2 ( x)
                                            S // (a)
 поэтому (ln S ( x) )
                            //
                                        =            <0 . По теореме 4 имеем
                                 x =a        S (a )
              1  2π S (a ) ln S ( a )t                      1    2π            t+
                                                                                 1
   I (t ) =     − //      e            ( f ( a ) +o (1) ) =   −  //
                                                                       S ( a )   2
                                                                                   ( f (a) +o(1) ) ,
              2  tS (a )                                    2  tS (a )
что и требовалось доказать.
       Вернемся к примеру 14. Воспользуемся результатами задачи. В
данном случае             S (θ ) =x + x 2 −1 ⋅ cosθ , f ≡1, функция                                    S ( x) достигает

максимума при θ =0 и S (0) =x + x 2 −1; S / (0) =0 ; S // (0) =− x 2 −1 .
                                                               1

                                         (x +               )
                                                             n+
                                                  x −1
                                                   2           2

       Отсюда            Pn ( x) =                                   (1 +o(1) ) .
                                                2π ⋅ x −1
                                                   4    2


                           Дополнительные стандартные методы

Страницы