Асимптотические методы. Глушко А.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
4
456455
1111120
204(),
x
xxxx
x
e
eedteeOx
xxtxxx
∞
−
−−−−−
<−<−+=
∫
то
234
()(2()).
x
JxexxOx
−−−−
=−+
Дополнение
Теорема 5. Пусть
[
]
;
=
- конечный отрезок,
(),()()
fxSxCI
∈
и
max()
xI
Sx
∈
достигается только в точке
0
x
. Тогда
1
о
. Если
0
axb
<<
и
(
)
(
)
()(2)
00
0,121,0
jm
SxjmSx
=≤≤−≠
, где
1
m
≥
, то при
t
→+∞
()
()
()
()
()
1
1
2
2
00
(2)
0
2!
11
()exp(1).
2
m
m
m
m
FtttSxfxo
mmSx
−


=Γ−⋅⋅+






2
о
. Пусть
0
xa
=
и
/(1)()
()...()0;()0
mm
SaSaSa
−
===≠
. Тогда при
t
→+∞
()
()
1
1
()
()
11!
()(1).
2
m
tSa
m
m
m
Fttefao
mmSa
−

=Γ−⋅⋅+






Доказательство. В случае 1
о
основной вклад в асимптотику
()
Ft
дает малая окрестность точки
0
x
. Делая в этой окрестности замену
(
)
xy
ϕ
=
, такую что
(
)
(
)
(
)
2
0
m
SySxy
ϕ −=−
, получаем эталонный
интеграл леммы Ватсона. Точно так же используется случай 2
о
.
Теорема 6. (Аналог леммы Ватсона в случае, когда
()
fx
имеет
логарифмическую особенность).
Пусть
1
,0,
RfC
γβ
∈>∈
при малых
0
x
≥
и
[
]
(
)
()0;
fxCa
∈ .
Тогда при
t
→∞
справедливо асимптотическое представление
()()
[]
1
0
ln()ln(0)(1)
a
tx
xxefxdxtt
Г fo
γ
γ
ββ
β
−−−
=+
∫
.
Доказательство. Так как функция
()
Sxx
=−
достигает максимума
при
0
x
=
, можно считать
1
a
<
; отброшенный интеграл экспоненциально
мал. Положим
()(0)()
fxfhx
=+
.Так как
()()
hxOx
=
, то при
0
t
>
:
()
1
1/
00
()ln
aa
txxt
xhxxedxcxedxct
γ
βδ
ββδ
−−+
−−−−
≤≤
∫∫
. 
                                                                30
                                   −x           ∞
                       1      −x e         1          1        1 120
             0 , f ∈C1 при малых                                                   x ≥0    и      f ( x) ∈C ([0; a ]) .
Тогда при t → ∞ справедливо асимптотическое представление
                   a
                               ln x e −tx f ( x )dx =t −β (ln t ) Г ( β )[ f (0) +o(1) ] .
                                      γ                                         γ
                   ∫x
                        β −1

                   0

       Доказательство. Так как функция                                          S ( x) =−x достигает максимума
при x =0 , можно считать a <1 ; отброшенный интеграл экспоненциально
мал. Положим f ( x) = f (0) +h( x) .Так как h( x) =O( x) , то при t >0 :
                               a                                           a

                                                               dx ≤c ∫x β −δ e−xt dx ≤c / t −(
                                                     γ                                                   β −δ +1)
                               ∫x
                                    β −1                 −tx
                                       h( x) ln x e                                                                 .
                               0                                           0

Страницы