Асимптотические методы. Глушко А.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
Метод стационарной фазы
1. Фазовая функция без критических точек. Мы будем рассматривать
интегралы Фурье
()
()()
b
itSx
a
Ftfxedx
=
∫
.
Здесь
()
Sx
- вещественнозначная функция ,
0
t
>
. Функция
()
Sx
называется фазовой функцией. Интеграл
()
будет мал при
t
→∞
за счет
быстрой осцилляции
()
itSx
e
Лемма Римана-Лебега . Если
(
)
1
fL
∈
!
, то
()
()()(1),
itSx
Ftfxedxot
∞
−∞
==→∞
∫
. (23)
Доказательство. Пусть
[]
;
()
ab
fx
χ
=
- характеристическая функция
интервала
(
)
;
ab
, тогда ее преобразование Фурье
()
стремится к нулю
при
t
→∞
:
[]
;
1
0
b
b
itbita
itxitxitx
ab
a
a
ee
edxedxe
itit
χ
∞
−∞
−
===→
∫∫
.
Совершенно аналогично для любой конечнозначной (ступенчатой)
функции
:
k
ϕ
()0
itx
k
xedxϕ
∞
−∞
→
∫
при
t
→∞
. Как известно из
функционального анализа , для любой
(
)
1
fL
∈
!
существует
последовательность конечнозначных функций
()
k
x
ϕ
, аппроксимирующая
её в
(
)
1
L
!
:
()()
k
xfx
ϕ
→
в
(
)
1
L
!
, т .е.
()()0
k
fxxdxϕ
∞
−∞
−→
∫
. Поэтому
для любого
0
ε
>
имеем ()()()
itxitx
kk
fxedxfxxdxedx
ϕϕ
∞∞∞
−∞−∞−∞
≤−+
∫∫∫
.
Следовательно, при
(
)
0
kk
ε
≥
и любом
0
t
>
:
()
2
itxitx
k
fxedxedx
ε
ϕ
∞∞
−∞−∞
≤+
∫∫
, а при
()
0
:()
2
itx
k
ttxedx
ε
εϕ
∞
−∞
≥≤
∫
.
Никакой более точной информации при этих условиях получить
нельзя . Ясно только, что основной вклад в асимптотику интегралов Фурье
(при гладких
,
fS
) должны вносить критические точки фазовой функции 
                                                               32
                                  Метод стационарной фазы

     1. Фазовая функция без критических точек. Мы будем рассматривать
интегралы Фурье
                                                           b
                                          F (t ) =∫f ( x)eitS ( x ) dx .
                                                           a

      Здесь S ( x) - вещественнозначная функция,                                                  t >0 . Функция           S ( x)
называется фазовой функцией. Интеграл F (t ) будет мал при t → ∞ за счет
быстрой осцилляции eitS ( x )
      Лемма Римана-Лебега. Если f ∈L1 (                                           ),    то
                                          ∞
                            F (t ) = ∫ f ( x)eitS ( x ) dx =o(1) , t → ∞ .                                                  (23)
                                          −∞

      Доказательство. Пусть                            f ( x) =χ[a ; b] - характеристическая функция
интервала (a ; b ) , тогда ее преобразование Фурье F (t ) стремится к нулю
               ∞                                                b
                                        eitb −eita
                                      b
                                 1
при t → ∞: ∫χ[a ; b]e dx =∫e dx = eitx =
                      itx                 itx
                                                   → 0.
           −∞             a
                                 it   a      it
      Совершенно аналогично для любой конечнозначной (ступенчатой)
                            ∞
функции        ϕk :         ∫ϕ ( x)e                 dx → 0          при           t → ∞.             Как       известно      из
                                               itx
                                  k
                            −∞

функционального             анализа,                   для            любой                     f ∈L1 (�)        существует
последовательность конечнозначных функций ϕk ( x) , аппроксимирующая
                                                                             ∞
её в L1 ( �) : ϕk ( x) → f ( x) в L1 ( �) , т.е.                             ∫ f ( x) −ϕ ( x) dx → 0 . Поэтому
                                                                                                  k
                                                                             −∞

                                                      ∞                           ∞                                  ∞
для    любого ε >0 имеем                              ∫ f ( x )e          dx ≤ ∫ f ( x) −ϕk ( x) dx + ∫ϕk eitx dx .
                                                                    itx

                                                      −∞                          −∞                                 −∞

Следовательно,                   при                       k ≥k0 (ε )                       и                любом        t >0 :
 ∞                    ∞                                                                ∞
               ε                                                                                                ε
 ∫ f ( x)e dx ≤ + ∫ϕk eitx dx , а при t ≥t0 (ε ):
         itx
                                                                                       ∫ϕ ( x)e
                                                                                            k
                                                                                                      itx
                                                                                                            dx ≤ .
−∞
               2 −∞                                                                    −∞
                                                                                                                2
     Никакой более точной информации при этих условиях получить
нельзя. Ясно только, что основной вклад в асимптотику интегралов Фурье
(при гладких f , S ) должны вносить критические точки фазовой функции

Страницы