ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34
()
////
///
()()()()()
()()().
ixitixitit
x
xx
ixixit
x
iefxftdeiefxfxeftedt
iefxfxeftedt
∞∞
∞
∞
=+=++=
=−+
∫∫
∫
Оценим по модулю интеграл в правой части последнего равенства
()
/////
()()()().
it
xx
ftedtftdtfxofx
∞∞
≤=−=
∫∫
Из последней оценки и условий примера следует его утверждение.
Принцип локализации
Пусть
x
∈Ω⊂
!
. Через
(
)
0
C
∞
Ω
обозначим множество всех
финитных бесконечно дифференцируемых функций
(
)
x
ϕ
таких, что
supp
ϕ
⊂Ω
.
Пример функции из
(
)
0
C
∞
Ω
.
Обозначим
2
0
1
exp,1;
1
()
0,1.
x
x
x
x
ϕ
<
−
=
≥
Функция
(
)
00
,
Cϕ
∞
∈
!
[
]
0
supp1;1.
ϕ
=−
Лемма 1. Пусть
(
)
(
)
0
(),()SxCfxC
∞∞
∈∈
!!
и
()0
Sx
′
≠
на
supp
f
. Тогда при
t
→+∞
()
()
()exp().
fxitSxdxOt
−∞
=
∫
Доказательство. Интеграл фактически берется по
axb
≤≤
, так как
функция
f
финитна. Применим теорему 1, учитывая, что все
внеинтегральные члены равны нулю в силу финитности функции
f
, так
что
(
)
(
)
(),0
N
FtOtN
−
=∀≥
. Лемма доказана.
Замечание. Так как главный член асимптотики обычно имеет
степенной характер, то интегралами, удовлетворяющими условиям
принципа локализации, можно пренебречь.
Нам понадобится некоторый технический аппарат – разбиение
единицы .
Теорема о разбиении единицы . Пусть множество
n
M
⊂
!
покрыто
34 ∞ ∞ =ie f ( x) +∫f (t )d (e ix / it ) =ie ix f ( x) + f ( x )e / it ∞ +∫f // (t )eit dt = x x x ∞ =ieix f ( x) − f / ( x )eix +∫f // (t )eit dt . x Оценим по модулю интеграл в правой части последнего равенства ∞ ∞ ∫f // (t )e dt ≤∫f // (t )dt =−f / ( x ) =o ( f ( x ) ) . it x x Из последней оценки и условий примера следует его утверждение. Принцип локализации Пусть x ∈Ω ⊂ �. Через C0∞ (Ω ) обозначим множество всех финитных бесконечно дифференцируемых функций ϕ ( x ) таких, что suppϕ ⊂Ω . Пример функции из C0∞ (Ω ) . � � 1 � � exp � 2 � , x <1; Обозначим ϕ0 ( x) =� � x −�1 Функция ϕ0 ∈C0∞ ( �), � 0, x ≥1. � supp ϕ0 =[−1;1]. Лемма 1. Пусть S ( x ) ∈C ∞ (�) , f ( x) ∈C0∞ (�) и S ′( x ) ≠0 на supp f . Тогда при t → +∞ ∫f ( x)exp (itS ( x) )dx =O (t ). −∞ Доказательство. Интеграл фактически берется по a ≤x ≤b , так как функция f финитна. Применим теорему 1, учитывая, что все внеинтегральные члены равны нулю в силу финитности функции f , так что F (t ) =O (t −N ) , ∀ ( N ≥0 ) . Лемма доказана. Замечание. Так как главный член асимптотики обычно имеет степенной характер, то интегралами, удовлетворяющими условиям принципа локализации, можно пренебречь. Нам понадобится некоторый технический аппарат – разбиение единицы. Теорема о разбиении единицы. Пусть множество M ⊂ �n покрыто
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »