Асимптотические методы. Глушко А.В - 34 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

34
()
////
///
()()()()()
()()().
ixitixitit
x
xx
ixixit
x
iefxftdeiefxfxeftedt
iefxfxeftedt
∞∞
=+=++=
=−+
∫∫
Оценим по модулю интеграл в правой части последнего равенства
()
/////
()()()().
it
xx
ftedtftdtfxofx
∞∞
=−=
∫∫
Из последней оценки и условий примера следует его утверждение.
Принцип локализации
Пусть
x
Ω⊂
!
. Через
)
0
C
обозначим множество всех
финитных бесконечно дифференцируемых функций
)
x
ϕ
таких, что
supp
ϕ
⊂Ω
.
Пример функции из
)
0
C
.
Обозначим
2
0
1
exp,1;
1
()
0,1.
x
x
x
x
ϕ

<

=

Функция
)
00
,
Cϕ
!
[
]
0
supp1;1.
ϕ
=−
Лемма 1. Пусть
)
)
0
(),()SxCfxC
∞∞
∈∈
!!
и
()0
Sx
на
supp
f
. Тогда при
t
+∞
()
()
()exp().
fxitSxdxOt
−∞
=
Доказательство. Интеграл фактически берется по
axb
≤≤
, так как
функция
f
финитна. Применим теорему 1, учитывая, что все
внеинтегральные члены равны нулю в силу финитности функции
f
, так
что
(
)
)
(),0
N
FtOtN
=∀≥
. Лемма доказана.
Замечание. Так как главный член асимптотики обычно имеет
степенной характер, то интегралами, удовлетворяющими условиям
принципа локализации, можно пренебречь.
Нам понадобится некоторый технический аппарат разбиение
единицы .
Теорема о разбиении единицы . Пусть множество
n
M
!
покрыто
                                                           34
                         ∞                                                              ∞
         =ie f ( x) +∫f (t )d (e
             ix                /         it
                                              ) =ie   ix
                                                           f ( x) + f ( x )e
                                                                       /       it ∞
                                                                                      +∫f // (t )eit dt =
                                                                                 x
                         x                                                              x
                                                                   ∞
                              =ieix f ( x) − f / ( x )eix +∫f // (t )eit dt .
                                                                   x

Оценим по модулю интеграл в правой части последнего равенства
                    ∞                         ∞

                    ∫f
                         //
                              (t )e dt ≤∫f // (t )dt =−f / ( x ) =o ( f ( x ) ) .
                                    it

                    x                         x

Из последней оценки и условий примера следует его утверждение.
                           Принцип локализации
      Пусть       x ∈Ω ⊂ �. Через                          C0∞ (Ω ) обозначим множество всех
финитных бесконечно дифференцируемых функций                                                ϕ ( x ) таких, что
suppϕ ⊂Ω .
      Пример функции из C0∞ (Ω ) .
                                      �       � 1 �
                                        � exp � 2 � , x <1;
      Обозначим              ϕ0 ( x) =�        � x −�1                           Функция ϕ0 ∈C0∞ ( �),
                                         � 0,          x ≥1.
                                          �
supp ϕ0 =[−1;1].
      Лемма 1.          Пусть            S ( x ) ∈C ∞ (�) , f ( x) ∈C0∞ (�) и S ′( x ) ≠0 на
  supp f . Тогда при t → +∞

                                   ∫f ( x)exp (itS ( x) )dx =O (t ).
                                                                           −∞




      Доказательство. Интеграл фактически берется по a ≤x ≤b , так как
функция     f     финитна. Применим теорему 1, учитывая, что                                                   все
внеинтегральные члены равны нулю в силу финитности функции                                                  f , так
что F (t ) =O (t −N ) , ∀ ( N ≥0 ) . Лемма доказана.
     Замечание. Так как главный член асимптотики обычно имеет
степенной характер, то интегралами, удовлетворяющими условиям
принципа локализации, можно пренебречь.
     Нам понадобится некоторый технический аппарат – разбиение
единицы.
      Теорема о разбиении единицы. Пусть множество M ⊂ �n покрыто