Асимптотические методы. Глушко А.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
конечным или счетным числом открытых множеств
{
}
α
Ω
. Тогда
существует семейство функций
{
}
()
Ф x
α
ϕ
=
такое, что
1
о
.
)
0
()xC
αα
ϕ
∞
∈Ω
.
2
о
.
()1,.
xxM
α
α
ϕ ≡∈
∑
3
о
. 0()1,
xxM
α
ϕ
≤≤∈
.
4
о
. Каждая точка
xM
∈
имеет такую окрестность, в которой только
конечное число функций
α
ϕ
отлично от нуля .
Если множество
M
- компактно, то покрытие
{
}
α
Ω
можно выбрать
конечным.
Рассмотрим интеграл
()
()()
b
iSxt
a
Ftfxedx
=
∫
. Продолжим
,
fS
нулем
при
[
]
;
xab
∉
и обозначим продолженные функции также через
,
fS
.
Определение. Будем называть
0
x
обыкновенной точкой интеграла
()
Ft
, если функции
)
00
,;fSCxx
δδ
∞
∈−+
при некотором
0
δ
>
и
)
/
0
0
Sx
≠
. В противном случае будем называть
0
x
критической точкой
интеграла
()
Ft
. Мы будем рассматривать только изолированные
критические точки. Вкладом от критической точки
0
x
в интеграл
()
Ft
назовем интеграл
()()
()
00
,(),exp()
FtxfxxxitSxdx
ϕ
∞
−∞
=
∫
. Здесь
)
0
,
xx
ϕ
-
финитная бесконечно дифференцируемая функция такая, что
1)
supp
ϕ
не содержит критических точек, отличных от
0
x
;
2)
)
0
,1
xx
ϕ
≡
в некоторой окрестности точки
0
x
(напомним, что мы
продолжили функции
,
fS
нулем вне
I
).
Теорема 2 (принцип локализации). Пусть
[
]
;
Iab
=
- конечный
отрезок и пусть интеграл
()
Ft
имеет конечное число изолированных
критических точек
1
,...,
k
xxI
∈
. Тогда
()
()
(),,
k
j
ja
FtFtxOtt
−∞
=
=+→∞
∑
,
т.е. интеграл
()
Ft
равен сумме вкладов от критических точек с точностью 
                                                    35

конечным или счетным числом открытых множеств                                {Ωα }.   Тогда
существует семейство функций Ф ={ϕα ( x )} такое, что
       1о. ϕα ( x) ∈C0∞ (Ωα ) .
       2о.   ∑ ϕ ( x) ≡1,
             α
                   α             x ∈M .

       3о. 0 ≤ϕα ( x) ≤1 , x ∈M .
       4о. Каждая точка x ∈M имеет такую окрестность, в которой только
конечное число функций ϕα отлично от нуля.
       Если множество M - компактно, то покрытие                      {Ωα } можно выбрать
конечным.
                                                b
       Рассмотрим интеграл F (t ) =∫f ( x)eiS ( x ) t dx . Продолжим f , S нулем
                                                a

при x ∉[a ; b ] и обозначим продолженные функции также через f , S .
       Определение. Будем называть x0 обыкновенной точкой интеграла
F (t ) , если функции            f , S ∈C ∞ ( x0 −δ ; x0 +δ ) при некотором       δ >0 и
S / ( x0 ) ≠0 . В противном случае будем называть x0 критической точкой
интеграла        F (t ) .   Мы     будем       рассматривать       только   изолированные
критические точки. Вкладом от критической точки x0 в интеграл F (t )
                                          ∞
назовем интеграл F (t , x0 ) = ∫ f ( x)ϕ ( x, x0 )exp (itS ( x) ) dx . Здесь ϕ ( x , x0 ) -
                                          −∞

финитная бесконечно дифференцируемая функция такая, что
       1) suppϕ не содержит критических точек, отличных от x0 ;
       2) ϕ ( x , x0 ) ≡1 в некоторой окрестности точки x0 (напомним, что мы
продолжили функции f , S нулем вне I ).
       Теорема 2            (принцип локализации).           Пусть I =[a ; b ] - конечный
отрезок и пусть интеграл F (t ) имеет конечное число изолированных
критических точек x1 ,..., xk ∈I . Тогда
                                      k
                             F (t ) =∑ F (t , x j ) +O (t −∞ ) , t → ∞ ,
                                     j =a

т.е. интеграл F (t ) равен сумме вкладов от критических точек с точностью

Страницы