ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
37
()
()
1
0
0
()
()exp,
(0)
exp.
!2
a
k
k
k
k
k
xfxitxdxatt
ik
fk
a Г
k
β
βα
α
πβ
β
ααα
+
∞
−
−
=
→+∞
+
+
=
∑
∫
!
Это разложение можно дифференцировать по
t
любое число раз.
Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье, как
лемма Ватсона для интегралов Лапласа .
Доказательство. Фазовая функция ()
Sxx
α
=
имеет единственную
критическую точку
0
x
=
на участке интегрирования . Рассмотрим вначале
случай, когда
()1
fx
≡
при
0
x
δ
≤≤
, где
0
a
δ
<<
. Тогда
подынтегральная функция аналитична на интервале
(
)
0;
δ
. В секторе
0arg x
π
α
<<
имеем
(
)
()()
()
(
)
ReRecosargsinargixixxix
α
α
α
=−=
(
)
(
)
(
)
(
)
Recosargsinargsinarg,
xixixxx
αα
α
=−=−
но так как
0arg
x
απ
<<
, следовательно,
(
)
sinarg0
x
α
>
и, следовательно,
(
)
Re0
ix
α
<
.
По теореме Коши интеграл на
отрезке
0;
2
δ
равен интегралу по
ломаной
12
bll
=
U
, где
1
l
- отрезок
2
0
0;
i
e
π
α
ρ
,
2
l
- отрезок
2
0
0;
i
e
π
α
ρ
,
0
cos
22
πδ
ρ
α
=
. Тогда
(1)(2)(3)
()()()()
tttt
ββββ
Φ=Φ+Φ+Φ . Здесь
β
Φ−
исходный
интеграл при условии, что
0||
x
δ
≤≤
;
()
3
()()exp(()),1,2,3;[;]
2
k
k
l
xfxitSxdxkla
β
δ
Φ===
∫
.
Найдем асимптотику при
t
→∞
интеграла
(1)
β
Φ
с помощью леммы
Ватсона, с учетом того, что на промежутке интегрирования
()1
fx
≡
.
/(2)
00
/2
11
(1)11/
22
00
1
()()(),0
i
i
e
itxtxct
xex
txeexedxetOec
πα
αα
πα
ρρ
πβπβ
βββα
αα
β
β
αα
−−−−−
=
Φ===Γ+>
∫∫
%
%
%
.
Im
x
2
0
i
e
π
α
ρ
−
0
ρ
1
l
2
π
α
2
l
0
2
δ
δ
a
Re
x
37 a ∞ k +β f ( x)exp (itx )dx �∑ a t − ∫x β −1 α k α , t → +∞ 0 k =0 f ( k ) (0) � k +β� � iπ (k +β� ) Г� ak = � exp � � . αk ! � α � � 2α � Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз. Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье, как лемма Ватсона для интегралов Лапласа. Доказательство. Фазовая функция S ( x) =xα имеет единственную критическую точку x =0 на участке интегрирования. Рассмотрим вначале случай, когда f ( x) ≡1 при 0 ≤x ≤δ , где 0 <δ 0 и, следовательно, iπ e 2α −ρ0 Re (ixα ) <0 . ρ0 l1 По теореме Коши интеграл на π l2 2α δ� � δ отрезке � 0; � равен интегралу по 0 δ a Re x � 2� 2 iπ iπ � � � � ломаной b =l1 l2 , где l1 - отрезок � 0; e ρ� 0 , l2 - отрезок � 0; e ρ� 0 2α 2α , � � � � π δ ρ0 cos = . Тогда Φ β (t ) =Φ(1) β (t ) +Φ β (t ) +Φ β (t ) . Здесь Φ β − исходный (2) (3) 2α 2 интеграл при условии, что 0 ≤| x | ≤δ ; δ Φ(βk ) ( x) =∫f ( x)exp(itS ( x)) dx, k =1, 2, 3; l3 =[ ; a ] . lk 2 Найдем асимптотику при t → ∞ интеграла Φ(1) β с помощью леммы Ватсона, с учетом того, что на промежутке интегрирования f ( x) ≡1 . ρ0 eiπ /( 2 α ) 1πβ ρ0 β −1 itxα β −1 −txα 1 β 12πβα −β / α Φ (t ) = ∫ = e 2α ∫x dx = Γ ( )e t +O (e−ct ), c >0 . (1) β x e e 0 x =eiπ / 2 α x 0 α α
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »