Асимптотические методы. Глушко А.В - 37 стр.

                                                                                37
                                      a                                                   ∞              k +β
                                                  f ( x)exp (itx               )dx �∑ a t
                                                                                                        −
                                      ∫x
                                           β −1                            α
                                                                                                    k
                                                                                                           α
                                                                                                                , t → +∞
                                      0                                                  k =0

                    f ( k ) (0) � k +β�       � iπ (k +β� )
                               Г�     ak =
                                        � exp
                                           �          �     .
                      αk !        � α �        �    2α   �
     Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз.
     Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье, как
лемма Ватсона для интегралов Лапласа.
            Доказательство. Фазовая функция                                                         S ( x) =xα имеет единственную
критическую точку x =0 на участке интегрирования. Рассмотрим вначале
случай, когда                              f ( x) ≡1                  при                0 ≤x ≤δ , где                      0 <δ 0                          и,            следовательно,                                                         iπ

                                                                                                                               e 2α −ρ0
Re (ixα ) <0 .
                                                                                                                ρ0   l1
            По теореме Коши интеграл на                                                                         π
                                                                                                                      l2
                                                                                                                2α
            δ� �                                                                                                           δ
отрезке � 0; �                            равен интегралу по                                            0                            δ     a   Re x
         �   2�                                                                                                            2
                                                                       iπ                       iπ
                                               �                  �       �          �
ломаной b =l1  l2 , где l1 - отрезок � 0; e ρ� 0 , l2 - отрезок � 0; e ρ� 0
                                                                       2α                       2α
                                                                                                                                                      ,
                                       �         �                  �       �
      π δ
ρ0 cos   = . Тогда Φ β (t ) =Φ(1)
                              β (t ) +Φ β (t ) +Φ β (t ) . Здесь Φ β − исходный
                                        (2)       (3)

      2α 2
интеграл        при               условии,             что            0 ≤| x | ≤δ ;
                                                       δ
Φ(βk ) ( x) =∫f ( x)exp(itS ( x)) dx, k =1, 2, 3; l3 =[ ; a ] .
             lk
                                                       2

            Найдем асимптотику при t → ∞ интеграла Φ(1)
                                                    β с помощью леммы

Ватсона, с учетом того, что на промежутке интегрирования f ( x) ≡1 .
              ρ0 eiπ /( 2 α )                                     1πβ ρ0
                                    β −1 itxα                               β −1 −txα       1 β 12πβα −β / α
Φ (t ) =            ∫                                = e           2α
                                                                      ∫x                dx = Γ ( )e t        +O (e−ct ), c >0 .
  (1)
  β                             x      e                                        e
                    0
                                                x =eiπ / 2 α x
                                                                      0
                                                                                             α α