Асимптотические методы. Глушко А.В - 37 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

37
()
()
1
0
0
()
()exp,
(0)
exp.
!2
a
k
k
k
k
k
xfxitxdxatt
ik
fk
a Г
k
β
βα
α
πβ
β
ααα
+
=
+∞
+

+

=



!
Это разложение можно дифференцировать по
t
любое число раз.
Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье, как
лемма Ватсона для интегралов Лапласа .
Доказательство. Фазовая функция ()
Sxx
α
=
имеет единственную
критическую точку
0
=
на участке интегрирования . Рассмотрим вначале
случай, когда
()1
fx
при
0
x
δ
≤≤
, где
0
a
δ
<<
. Тогда
подынтегральная функция аналитична на интервале
(
)
0;
δ
. В секторе
0arg x
π
α
<<
имеем
(
)
()()
()
(
)
ReRecosargsinargixixxix
α
α
α
=−=
(
)
(
)
(
)
(
)
Recosargsinargsinarg,
xixixxx
αα
α

==−

но так как
0arg
x
απ
<<
, следовательно,
(
)
sinarg0
x
α
>
и, следовательно,
(
)
Re0
ix
α
<
.
По теореме Коши интеграл на
отрезке
0;
2
δ



равен интегралу по
ломаной
bll
=
U
, где
1
l
- отрезок
2
0
0;
i
e
π
α
ρ



,
2
l
- отрезок
2
0
0;
i
e
π
α
ρ



,
0
cos
22
πδ
ρ
α
=
. Тогда
(1)(2)(3)
()()()()
tttt
ββββ
Φ=Φ+Φ . Здесь
β
Φ−
исходный
интеграл при условии, что
0||
δ
≤≤
;
()
3
()()exp(()),1,2,3;[;]
2
k
k
l
xfxitSxdxkla
β
δ
Φ===
.
Найдем асимптотику при
t
→∞
интеграла
(1)
β
Φ
с помощью леммы
Ватсона, с учетом того, что на промежутке интегрирования
()1
fx
.
/(2)
00
/2
11
(1)11/
22
00
1
()()(),0
i
i
e
itxtxct
xex
txeexedxetOec
πα
αα
πα
ρρ
πβπβ
βββα
αα
β
β
αα
−−
=
Φ===Γ+>
∫∫
%
%
%
.
Im
x
2
0
i
e
π
α
ρ
0
ρ
1
l
2
π
α
2
l
0
2
δ
δ
a
Re
x
                                                                                37
                                      a                                                   ∞              k +β
                                                  f ( x)exp (itx               )dx �∑ a t
                                                                                                        −
                                      ∫x
                                           β −1                            α
                                                                                                    k
                                                                                                           α
                                                                                                                , t → +∞
                                      0                                                  k =0

                    f ( k ) (0) � k +β�       � iπ (k +β� )
                               Г�     ak =
                                        � exp
                                           �          �     .
                      αk !        � α �        �    2α   �
     Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз.
     Лемма Эрдейи играет такую же роль для интегралов Фурье, как
лемма Ватсона для интегралов Лапласа.
            Доказательство. Фазовая функция                                                         S ( x) =xα имеет единственную
критическую точку x =0 на участке интегрирования. Рассмотрим вначале
случай, когда                              f ( x) ≡1                  при                0 ≤x ≤δ , где                      0 <δ 0                          и,            следовательно,                                                         iπ

                                                                                                                               e 2α −ρ0
Re (ixα ) <0 .
                                                                                                                ρ0   l1
            По теореме Коши интеграл на                                                                         π
                                                                                                                      l2
                                                                                                                2α
            δ� �                                                                                                           δ
отрезке � 0; �                            равен интегралу по                                            0                            δ     a   Re x
         �   2�                                                                                                            2
                                                                       iπ                       iπ
                                               �                  �       �          �
ломаной b =l1  l2 , где l1 - отрезок � 0; e ρ� 0 , l2 - отрезок � 0; e ρ� 0
                                                                       2α                       2α
                                                                                                                                                      ,
                                       �         �                  �       �
      π δ
ρ0 cos   = . Тогда Φ β (t ) =Φ(1)
                              β (t ) +Φ β (t ) +Φ β (t ) . Здесь Φ β − исходный
                                        (2)       (3)

      2α 2
интеграл        при               условии,             что            0 ≤| x | ≤δ ;
                                                       δ
Φ(βk ) ( x) =∫f ( x)exp(itS ( x)) dx, k =1, 2, 3; l3 =[ ; a ] .
             lk
                                                       2

            Найдем асимптотику при t → ∞ интеграла Φ(1)
                                                    β с помощью леммы

Ватсона, с учетом того, что на промежутке интегрирования f ( x) ≡1 .
              ρ0 eiπ /( 2 α )                                     1πβ ρ0
                                    β −1 itxα                               β −1 −txα       1 β 12πβα −β / α
Φ (t ) =            ∫                                = e           2α
                                                                      ∫x                dx = Γ ( )e t        +O (e−ct ), c >0 .
  (1)
  β                             x      e                                        e
                    0
                                                x =eiπ / 2 α x
                                                                      0
                                                                                             α α