Асимптотические методы. Глушко А.В - 39 стр.

                                                          39
если f ( x) ≡1 при малых x .
      Докажем лемму в общем случае. По формуле Тейлора
           N
                 f ( k ) (0) k             N
                                               f ( k ) (0) k
  f ( x) =∑                 x + f N ( x) =∑               x +x N +1hN ( x) , hN ( x) ∈C ∞ ([0; a ]) .
          k =0       k!                   k =0     k!
      Заменим в интеграле Ф(t ) f ( x) на f ( x)ψ ( x) , где ψ ( x) ∈C ∞ ([0; a ]) ,
ψ ≡1 при         0 ≤x ≤δ α itα x                                     0�
                                                                                     itα x �
                                                                           0


      Функция ϕN ( x) обладает следующими свойствами:
      1) при x =a она равна нулю вместе со всеми производными;
      2) при x =0 она имеет нуль порядка S =β +N .
      Поэтому внеинтегральная подстановка равна нулю при N >α −β .
                                 /
Функция �� x −α +1ϕN ( x�� ) обладает такими же свойствами при s =β +N −α .
Поэтому такое же интегрирование можно повторить                  k раз, где
k ∈�, s >0 ; β +N −2k >0 , k <( β +N ) / α ,                                                  откуда   k =[( β +N ) / α ].
При этом все внеинтегральные подстановки обратятся в нуль и
                                                       � β +N� a
                                                     −�
                                                        � α ��
                                                                                          α
                                     RN (t ) =cN t              ∫qN ( x)e dx ,
                                                                         itx

                                                                0

где q N ( x) - непрерывная при 0 ≤x ≤a функция. Следовательно,