Асимптотические методы. Глушко А.В - 38 стр.

                                                                     38
Интегрируя по частям, имеем
                                    δ
                                    2                                           a
                                                        1              α                     1              α

                                    ∫x                          d [eitx ] +∫f ( x) x β −1
                                              β −1
  Φ ( x) +Φ β ( x) =
     (2)
     β
                       (3)
                                                           α −1                                 α −1
                                                                                                     d [eitx ] =
                                        iπ           itα x                 δ              itα x
                                  ρ0e 2 α                                       2
                δ
            α                                                                        α   a
  x β −1eitx                                       x β −1 f ( x)eitx
                2                                                                                   a
                             1     α                                                           1    α
=                          − ∫eitx ( x β −α )′dx +                                           − ∫eitx ( f ( x) x β −α )′dx.
  itα xα −1          iπ
                ρ0 e 2 α
                            itα l2                     itα xα −1                         δ    itα δ
                                                                                         2          2
                                                                                     π
                                                                                i
Внеинтегральная подстановка при x =ρ0e                                              2α
                                                                                         экспоненциально мала, так
                                               α
как в этой точке eitx =e−t ρ0 . Внеинтегральная подстановка при x =a равна
нулю, так как f ( a) =0 , наконец, внеинтегральные подстановки в точке
  δ
x=          сокращаются. Следовательно, внеинтегральные подстановки в
   2
последнем                  равенстве               имеют             порядок                   O (t −∞ ) .   Кроме           того,

 β (t ) +Φ β (t ) =O (t ) при t → ∞, так как exp (itxα ) ≤1 на l1 , l2 , l3 при
                       −1
Φ(2)       (3)



t ≥0 . Далее,
                               β −α �                                                                                �
       Φ(2)
        β   (t ) +Φ (3)
                    β   (t ) =−
                                itα �
                                      �                  ∫  x β −α −1
                                                                      exp (itx α
                                                                                 ) dx +∫  x β −α −1
                                                                                                    f ( x ) e itx
                                                                                                                  dx   � −
                                                         l2                            l3                               �
                                                     a
                                           1
                                         − ∫x β −α f / ( x)eitx dx +O(t −∞ ) .
                                          itα δ
                                                     2

           Поскольку              f / ( x) ∈C ∞ ([0; a ])                   и       f / ( x) ≡0 ,        при    0 ≤x ≤δ и

f ( k ) ( a ) =0 при k =0, 1,2... , то последний интеграл имеет порядок O (t −∞ ) в
силу леммы 1, так что
                              α −β (2)
                                                     β −α (t� ) +O (t    ).
                                                                      −∞
          Φ(2)
            β (t ) +Φ β (t ) =
                      (3)
                                   �� Φ β −α (t ) +Φ (3)     �
                               itα
Повторяя эти выкладки произвольное число раз (на l2 и l3 x ≠0 ),

          β (t ) +Φ β (t ) =O (t    ). Поэтому, а также из разложения для
                                 −∞
получаем Φ(2)       (3)



Φ(1)
 β (t ) имеем


                                             Г (β / α )              β  β

                                                                            +O (t −∞ ) , t → ∞ ,
                                                               iπ      −
                             Φ β (t ) =                    e        2α α
                                                                      t                                                       (25)
                                                   α