Асимптотические методы. Глушко А.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
(),
N
N
RtOtt
β
α
+

−



=→∞



.
Далее мы будем действовать так же, как и при доказательство теорем
методом Лапласа , а именно, комбинировать лемму Эрдейи и лемму 4 о
замене переменной.
Теорема 4. Пусть
[
]
00
;Ixx
δδ
=−+
- конечный отрезок и
выполнены условия
1
о
.
0
()(),()()
fxCISxCI
∞∞
∈∈ .
2
о
. Функция
Sx
имеет при
xI
∈
единственную стационарную
точку
0
x
.
3
о
.
(
)
//
0
0
Sx
≠
.
Тогда при
t
→∞
()
[]
0
0
0
,()exp()
x
x
FtxfxitSxdx
δ
δ
+
−
==
∫
()
() () ()
1
2
000
//
0
2
expsgn.
4
fxOtitSxiSx
tSx
ππ
−



′′
=++







Доказательство. Сделаем замену переменной
()
xy
ψ
=
такую , что
() ()
2//
00
(),sgn
2
SxSxySx
ε
ε=+=
. При этом
0
δ
>
можно считать
настолько малым, чтобы функции
(
)
1
,()
xyyxC
ψψ
−∞
==∈
. Тогда
()
[]
()
()
2
1
2/
00
,exp()exp()
FtxitSxityfyydy
δ
δ
εψψ
−

=

∫
.
Применяя к каждому из интегралов
1
0
δ−
∫
и
2
0
δ
∫
лемму Эрдейи ,
получаем требуемое разложение.
Теорема 5. Пусть
[
]
00
;Ixx
δ
=+
- конечный отрезок,
0
δ
>
,
функции
(),()()
fxSxCI
∞
∈ и
(
)
()
0
0,0,1,2,...
k
fxkδ+==
.
Пусть функция
()
Sx
имеет на
I
единственную стационарную точку
0
xx
=
и
(
)
(
)
()()
00
0,11,0
km
SxkmSx
=≤≤−≠
, где
2
m
≥
. Тогда при
t
→+∞
                                                            40

                                                    �     −�
                                                            � β +N�
                                                                   �   �
                                                             � α�
                                       RN (t ) =O � t                  �   ,t→ ∞ .
                                                   �                   �
                                                     �                 �
     Далее мы будем действовать так же, как и при доказательство теорем
методом Лапласа, а именно, комбинировать лемму Эрдейи и лемму 4 о
замене переменной.
        Теорема 4.                 Пусть        I =[ x0 −δ ; x0 +δ ] - конечный отрезок и
выполнены условия
        1о.       f ( x) ∈C0∞ ( I ) , S ( x) ∈C ∞ ( I ) .
        2о.       Функция S ( x) имеет при                         x ∈I единственную стационарную
точку x0 .
        3о. S // ( x0 ) ≠0 .
        Тогда при t → ∞
                                                        x0 +δ

                                       F (t , x0 ) =     ∫ f ( x)exp [itS ( x)]dx =
                                                        x0 −δ


                       2π          �          � −� 12 �              �             π              �
              =                    � ( 0)
                                      f x +O � t � �            exp � itS ( x0 ) +i sgn S ′′ ( x0� ) .
                   t S // ( x0 )    �          � � �                   �           4                �
        Доказательство. Сделаем замену переменной x =ψ ( y ) такую, что
                          ε
        S ( x) =S ( x0 ) + y 2 , ε =sgn S // ( x0 ) . При этом δ >0 можно считать
                          2
настолько малым, чтобы функции x =ψ ( y ) , y =ψ −1 ( x) ∈C ∞ . Тогда
                                                   δ2

                   F (t , x0 ) =exp [itS ( x0 ) ] ∫exp �� itε y�� 2 f (ψ ( y ))ψ / ( y )dy .
                                                   −δ1

                                                                               0        δ2

        Применяя к каждому из интегралов                                      ∫
                                                                              −δ1
                                                                                    и   ∫
                                                                                        0
                                                                                              лемму Эрдейи,

получаем требуемое разложение.
        Теорема 5.                 Пусть I =[ x0 ; x0 +δ ] - конечный отрезок,                           δ >0 ,
функции f ( x), S ( x ) ∈C ∞ ( I )              и f ( k ) ( x0 +δ ) =0 , k =0,1,2,... .
        Пусть функция S ( x) имеет на I единственную стационарную точку
x =x0      и        S ( k ) ( x0 ) =0 , 1 ≤k ≤m −1 , S ( m ) ( x0 ) ≠0 , где                 m ≥2 . Тогда при
t → +∞

Страницы