Асимптотические методы. Глушко А.В - 42 стр.

                                                               42
                                                                                                         ∞
e   −ν x sh t
                ≤1 (ν >0 , x >1) . Поэтому интеграл не превосходит                                       ∫e
                                                                                                              −ν t
                                                                                                                     dt =ν −1 .
                                                                                                         0

                                                                                                     π
                Первое        слагаемое        в         (27)       равно            π Re ∫exp [iν S (ϕ) ]dϕ , где
                                                                                       −1

                                                                                                     0

 S =ϕ −x sin ϕ . Уравнение S / (ϕ ) =0 имеет вид 1 −x cos ϕ =0 , откуда
       1                                                      1
cos ϕ = , ( x >1) . Единственная стационарная точка ϕ0 =arccos .
       x                                                      x
                                                     1
Причем S // (ϕ0 ) =x sin ϕ0 =x 1 −                     2
                                                         = x 2 −1 ;
                                                     x
               1      1         1
S (ϕ0 ) =arccos −x 1 − 2 =arccos − x 2 −1.
               x      x         x
                По формуле теоремы 4:
                                                 �                  π�
                                          cos � ν arccos −ν x 2 −1 + � +O (ν −1 ) .
                                     2                  1
                 Jν (ν x ) =
                                πν x 2 −1      �        x           4�

(Вклад от ϕ =0 и ϕ =π равен O (ν −1 ) ).
                Замечание. Отдельно вычислим асимптотику Jν (ν ) при ν → +∞.
                                    π
                      Jν (ν ) = Re ∫exp (iν S (ϕ )) dϕ +O (ν −1 ) ,
                               1
                                                                                       S (ϕ ) =ϕ −sin ϕ .
                               π   0

(Вклад от точки ϕ =π                       составляет O (ν −1 ) ). Стационарная точка ϕ =0 ,

причем S (0) =S // (0) , S // (0) =1 . Применим формулу (26) :
                               � 1�
                            Γ� �           �                                                 1
                                                                                                                        �
                         1   �   3�   −
                                       1
                                                   �       iπ                      �� � 3!       �        �   � �
                                                                                                               −
                                                                                                                1
                                    ⋅ν Re � exp � iν ⋅ 0 +
                                                                                             3
                Jν (ν ) = ⋅            3
                                                                           ⋅� 1 � �              �   1 +O   ν
                                                                                                          � � �
                                                                                                                3       � =
                         π      3            �   �          6                  �� � 1              �       � � �        �
                                               �                                                                        �
                                                                       1    1
                     � 1�                                  �     1�
                  6Γ� �
                  3
                                                            � Γ � 3 �2
                                                                       3    3
                               π�      � −� 23 �                               �   − � �
                                                                                    2
                =     �  3�
                            cos � 1 +O � ν � �             �= 3 �
                        1                                      1       � 1 1 +� O ν 3 � � =
                               6�       � � �                                    �     � �
                  3πν   3
                                                              32 ⋅ 2πν� 3
                                                 � 1�
                                               Γ� �
                                                  � 3�          �      � � �    −
                                                                                 2
                                        = 1 2 1              � 1 +O � ν � �      3
                                                                                         .
                                         36 ⋅ 2 3 ⋅ν 3 ⋅ π �         � � �