Асимптотические методы. Глушко А.В - 44 стр.

                                     44
дифференцируема, то величина производной не может зависеть от выбора
                       ∂ϕ    ∂ψ ∂ψ      ∂ϕ
∆z , следовательно,       +i    =    −i    . Разделяя вещественную и
                       ∂x    ∂x   ∂y    ∂y
мнимую части, получаем так называемые уравнения Коши-Римана
                           ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ   ∂ψ
                             = ;    =− .
                           ∂x ∂y ∂y   ∂x
Исключение ψ из этой системы путем перекрестного дифференцирования
       ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ                                     ∂2ψ ∂ 2ψ
дает       +     =0 . Аналогично, исключая ϕ , имеем     +     =0 .
       ∂x 2 ∂y 2                                     ∂x 2 ∂y 2
       Для того чтобы найти асимптотическое представление интеграла
I (t ) , воспользуемся свойством аналитичности подынтегральной функции
и, применяя теорему Коши, деформируем контур C в новый контур C ′ с
таким расчетом, чтобы на C ′ либо вещественная, либо мнимая часть
функции h( z ) оказалась постоянной. Тем самым исходный интеграл
преобразуется либо в интеграл Лапласа, либо в интеграл Фурье. Тогда
асимптотика преобразованного интеграла может быть найдена с помощью
метода Лапласа, либо с помощью метода стационарной фазы. Во многих
случаях оказывается предпочтительнее трансформировать исходный
интеграл в интеграл Лапласа, поскольку полное асимптотическое
представление интеграла Лапласа порождается лишь окрестностью той
точки на контуре C ′ , где функция ϕ =Re h( z ) принимает наибольшее
значение. Полное же асимптотическое разложение интеграла Фурье
определяется не только стационарными точками ψ =Im h( z ) , но и, вообще
говоря, поведением подынтегральной функции в концевых точках
промежутка интегрирования.
       Отметим также, что линии постоянной фазы ψ =const являются
также одновременно линиями наиболее быстрого изменения (спуска или
подъема) для функции ϕ . Чтобы доказать это, воспользуемся понятием
                                             T
                                 � ∂ϕ ∂ϕ�
градиента. Известно, что ∇ ϕ =�       ; �        , T −знак транспонирования, а
                               �   ∂x  ∂y�
производная     функции   ϕ по направлению, задаваемому единичным