Асимптотические методы. Глушко А.В - 45 стр.

                                     45
                                             ∂ϕ
вектором     n , определяется выражением        =(∇ ϕ, n ) . Таким образом,
                                             ∂n
           ∂ϕ                                                  �
функция       достигает своего наибольшего значения, когда cos(∇ ϕ, n ) =1 ,
           ∂n
                           ∇ϕ
т.е. n || ∇ ϕ , откуда n =      . При этом, когда n и ∇ ϕ равнонаправлены,
                          |∇ϕ |
данное направление будет направлением наибольшего возрастания
(подъема) функции ϕ , а противоположное направление – направлением
наибольшего убывания (спуска) ϕ . Кроме того, из уравнений Коши-
Римана следует, что
                 ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ
    (∇ ϕ, ∇ ψ ) = ⋅    + ⋅     =                              ϕ ( x, y )
                 ∂x ∂x ∂y ∂y
         ∂ψ ∂ψ       ∂ψ ∂ψ
     =       ⋅    +(− )    =0.
         ∂y ∂x       ∂x ∂y                               z0

Векторы ∇ ϕ      и      ∇ ψ ортогональны.
Если                 l || ∇ ϕ ,        то
 ∂ψ ∂ψ           ∂ψ        � ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ�     1
     =    ⋅ l1 +    ⋅ l2 =�     ⋅  +  ⋅ � ⋅        =0
  ∂l   ∂x        ∂y         � ∂x ∂x ∂y ∂y�  |∇ ϕ |
. Таким образом, функция ψ оказывается постоянной на линиях,
касательные к которым параллельны ∇ ϕ , откуда сразу следует, что линии
постоянной фазы являются линиями наискорейшего спуска (или подъема)
для функции ϕ . Отметим также, что функция ϕ ( x, y ) не может иметь в
точках регулярности h( z ) ни максимума, ни минимума. Действительно, из
          ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ                 ∂ 2ϕ         ∂ 2ϕ
уравнения     +     =0 следует, что      <0 , то      <0 и наоборот.
          ∂x 2 ∂y 2                 ∂x 2         ∂y 2
Вместе с тем, поверхность ϕ =ϕ( x, y ) может иметь точки, в которых
∂ϕ ∂ϕ
  = =0 , но они не являются точками экстремума функции ϕ ( x, y ) , а
∂x ∂y
лишь седловыми точками (или точками перевала). Из уравнений Коши-
                                              ∂ψ ∂ψ
Римана следует, что в таких точках также         =    =0 . Таким образом,
                                              ∂x   ∂y
седловая точка функции ϕ( x, y ) является одновременно и седловой точкой
функции ψ ( x, y ) , а значит, точкой, где h′( z ) =0 . При этом, если z =z0 -