Асимптотические методы. Глушко А.В - 47 стр.

                                                   47
                                               ∞
                                     1     1
                             Ai(t ) = ∫cos( s 3 +ts) ds .
                                     π0    3
      Для того чтобы преобразовать этот интеграл в стандартный вид,
введем преобразование s = t z .
                                                                  3         3
                    ∞        3                            ∞            z3       z3
                  t         1               t   it 2 ( +z ) −it 2 ( +z )
         Ai(t ) = ∫cos[t 2 ( z 3 +z )] dz = ∫[e 3 +e               3
                                                                         ]dz =
                 π 0        3              2π 0
                                          3                   3
                                      ∞       z3        −∞        z3
                           t   it 2 ( +z )   it 2 ( +z )
                         = [ ∫e 3 dz − ∫e 3 dz ].
                          2π 0             0
                                 3
                         ∞           z3
                      t    it 2 ( +z )
Поэтому      Ai(t ) = ∫e 3 dz .                    Интегрирование           по        частям   дает
                     2π −∞
тривиальный результат: Ai(t ) =0 ⋅ t −1 +0 ⋅ t −2 +... , поскольку, как будет
показано ниже, в асимптотическое разложение входит экспоненциально
убывающий множитель, который стремится к нулю быстрее, чем любая
степень t −1 .
     Для того чтобы найти асимптотическое представление функции
                                                                    z3
Ai(t ) , воспользуемся методом перевала. В данном случае h( z ) =i ( +z )
                                                                    3
и h′( z ) =i ( z 2 +1) . Так что седловые точки, т.е. нули производной h′( z ) это
                                   i       2
z =±i . В этих точках h( ±i ) =i ( ±i ) = и, следовательно, Im h(±i ) =0 .
                                   3       3
                                                                   1
Положим теперь          z =x +iy , имеем                h( z ) =i ( ( x +iy )3 +x +iy ) . После
                                                                   3
преобразований получим
                               1                  1
                    h( z ) =y ( y 2 −1 −x 2 ) +ix( x 2 −y 2 +1) .                              (29)
                               3                  3
Поскольку в седловых точках Im h =0 ,                              y

то уравнение линий наискорейшего
спуска, проходящих через эти точки,
                                                                  i
получается из условия Im h =0 . В
соответствие с (29) это уравнение имеет                           0                            x

      1                                                                          −i
вид x( x 2 −y 2 +1) =0 . Это уравнение
      3