Асимптотические методы. Глушко А.В - 49 стр.

                                                                                      49
                 1             3

                                              �                                                                   �
                 2                 1
        t     it 2 ( z 3 +z )                                                                       1 2
Ai(t ) = ∫e 3                 dz , здесь C =� ( x, y )                                               x −y 2 +1 =� 0 , следовательно,
        2π C                                   �                                                   3               �
                                                   8
x 2 =3( y 2 −1) . Поэтому из (29) h( z ) =y (2 − y 2 ) . Действительно, Im h =0,
                                                   3
                      1                  1                            8
h( z ) =Re h( z ) =y ( y 2 −1 −x 2 ) =y ( y 2 −1 −3( y 2 −1)) = y (2 − y 2 ) при y ≥1 .
                      3                  3                            3
                                                      3
                                                      2 ∞
                                                                   3       8 2
                                  y ( 2− y )
                        2t
Следовательно, Ai(t ) =    ∫                 d [ 3( y 2 −1) +iy )] ,
                               t2       3
                             e
                        2π 1
       �             3y    �
( dz =�                +� i dy ) . Проведем замену y =τ +1. Получим
         �       y 2 −1 ��
           �
                                           1                                      1                       1
                                                              =                                      =            (1 +O(τ)) ;
                                                                                        τ
                                                                            1                                 1
                                       (τ +1) 2 −1                     2τ   2
                                                                                   1 +_                  2τ   2
                                                                                        2
                                        8(τ +1) 2              8τ2 +16τ+8
                     1
      3 −               8
dz = τ 2 +O(1); y (2 − y 2 ) =(τ+1)(2 −           ) =(τ +1)(2 −           )=
      2                 3                   3                       3
     (τ +1)( −2 −8τ2 −16τ) −2 −18τ −24τ2 −8τ3          2
                          =                         =− −6τ(1 +O (τ)) .
                3                     3                3
Отсюда
                           3
                 1  2
                   − t2            ∞
         t e   � −6τ(1+O (τ))t 2 −2
                 2  3                            �    3        1                          1
AI (t ) =       � ∫e            τ (1 +O(τ 2 ))dτ� . Дальнейшие преобразования:
          π 2 � 0                                  �
                           3
                 1  2
                   − t2                           ∞
        t e   � 1 −6τ(1+O (τ))t 32 −12
                 2  3                      1                          3
                                                                         −
                                                                          1       1
                                                                                         �
               � ∫e               τ (1 +O(τ ))dτ +∫e −6τ (1+O (τ )) t 2
Ai(t ) =                                   2
                                                                        τ (1 +O(τ 2 ))dτ� ,
                                                                          2

         π 2 � 0                                  1                                        �
                                                     ∞                            3            1          1
                                                                                              −
                                                      ∫e
                                                              −6τ (1+O (τ )) t 2
причем, по лемме 1:                                                                   τ 2 (1 +O(τ 2 ))dτ =O (e −εt ), t → ∞, ε >0 .
                                                      1
                                                                   3                      3         3
                                               −6τ (1+O (τ )) t 2               −6τt 2
Так                  как                   e                           =e                     (1 +t 2 O (τ2 )),          то     интеграл
1                    3      1                  1
                           −
∫e
     −6τ (1+O (τ )) t 2
                          τ (1 +O (τ ))dτ представим в виде суммы интегралов
                            2                  2

0

1          3     1                     1              3 1              3              3
                −
∫e                                                        ∫e
     −6τt 2                                                     −6τt 2
               τ (1 +O(τ )) dτ +t
                 2                     2              2
                                                                           O (τ )dτ. Второй интеграл в последней
                                                                                      2

0                                                         0