Асимптотические методы. Глушко А.В - 50 стр.

                                                                                50
сумме легко оценить с применением леммы Ватсона:
    3 1        3          3                 3            35                 3
                                                        − ⋅                −
     ∫e
          −6τt 2
t   2
                   O(τ ) dτ =t ⋅ O(t
                          2                 2            22
                                                              ) =O(t ). Поэтому
                                                                            2

     0
                          3
                   1  2
                     − t2
        t e   � 1 −6τt 32 −12
                   2  3       1
                                       − �
                                        3
Ai(t ) =       � ∫e τ (1 +O(τ ))dτ +O(t ) � . После применения леммы
                              2         2

         π 2 � 0                           �
Ватсона к оставшемуся интегралу получим окончательный результат:
                                        3                                                                3
                                  1  2                                                               2
                                    − t2                      3  1                                  − t2
                                  2  3                                                               3
                     t e  1 1                                   −                               e
             Ai(t ) =      Γ ( )(6t ) (1 +o(1)) =             2  2
                                                                                                                 (1 +o(1)), t → ∞.
                      π 2 1 2
                                                                                                      1
                                                                                            2 πt      4
                                                                                                             3

                          Практические задания
     1) Разложения функций.
        Найти первые три члена разложений следующих функций при
малом ε :
                                                                    −1
                      �
                      3a 2   51a 4 � 2
            1.1. � 1 −     ε+     ε�                                     ; 1.2. cos 1 −εt , (0 ≤t ≤T ) ;
                  �    8      256 �

                     1
            1.3.  1 − ε +2ε 2 .
                     2
            2) Определить порядок следующих функций при ε → 0 :
                                                                 ε                      1
            2.1. ln (1 +5ε ) ; 2.2.                                 ;           2.3. 1 − ε 2 −cos ε .
                                                              sin ε                     2
            3) Расположить функции по порядку убывания при малых ε                                                               (ε >0 )
                                    1               1                                       1        3
                                                                                           −
                                                               −1                −1
            3.1. ε , ε , 1, ε , ln ε , ε ln ε , e
                              2     2               2                                       ε
                                                                                                ,ε ; 2


                                                              sin ε                        � 1�
            3.2. ln (1 +ε ) , ctg ε ,                                    , ε ln ε , ln −1 � �                ;
                                                                                            � ε�
                                                                   3
                                                               ε   2

                           1                    1                  2       1                                 1       1
                          −        1         �   1�                                  1                              −
            3.3. e         ε
                                  , , ε 2 , � ln �                     , eε ,             , ε 0,0001 , 5ε , 5 ε .
                                   ε           � ε�
                                                                                      3
                                          ε2
            4) Определить два члена разложения для каждого корня следующих
уравнений при малых ε
            4.1. x 3 −(2 +ε ) x 2 −(1 −ε ) x +2 +3ε =0 ;