Асимптотические методы. Глушко А.В - 48 стр.

                                                                              48
определяет 3 линии наискорейшего спуска: x =0 и две гиперболы
1 2
  x −y 2 +1 =0 . Эти линии изображены на рисунке, причем стрелками
3
указывается направление, в котором Re h( z ) убывает. Таким образом,
чтобы применить метод перевала, деформируем исходный контур
интегрирования в контур C1 , который
   1) проходит через седловую точку z =i ;
   2) представляет собой кривую постоянной фазы;
   3) является линией наискорейшего спуска из седловой точки.
Заметим, что
                                           3
                             N                 z3
         t          it 2 ( +z )
Ai(t ) = lim ∫e 3 dz =lim J N , где                                                                                       y
        2π N → ∞ −N             N→ ∞
                                                                                                                 CN
                         +         −
J N =GN +I +I .                                 Для        того       чтобы                                           i
                         N         N
                                                                                                  lN−                                          l N+
ввести интегралы GN ; I N+; I N− , введем                                                  −N                         0                    N      x

вначале контуры интегрирования CN −
                                                       1 2
часть ветви гиперболы                                    x −y 2 +1 =0                     такая, что x ∈[ −N ; N ] . Контуры
                                                       2
                                                    1 2
lN± : x = N ; y ∈(0;                                 N +1) . Тогда
                                                    3
                              3        3                                              3   3
                       z                                                       z
           t     it 2 ( +z )                                       t     it 2 ( +z )

          2π C∫
GN (t ) =       e 3 dz;                                   I (t ) = ∫e 3 dz. Рассмотрим z ∈lN± :
                                                           ±

                                                                  2π l ±
                                                           N
              N                                                                 N


   � z3 �        � 1                �        � 1          �     � 1                                                                      �
  i�    +� z =i � (±N +iy )3 ±N +iy
                                  �     = y � y 2 −N 2 −1� ±iN � N 2 −y 2                                                              +� 1 ;
     � 3 �        � 3                 �       � 3           �    � 3                                                                       �
     � 1       �       � 1� 1 2 �                                             �  � 8     2�
Re i � z 3 +� z ≤ y �        N � +1 −N 2                                  −� 1 =� − N 2 − � y , следовательно,
      � 3        �    � 3� 3       �                                        �     � 9    3�
                                                                                                                          3
                                                                 1 2                                           8     2      1 2
         3                            3                            N +1                       3              −( N 2 + ) t 2   N +1
                                                                                                                                     −1]
            1                              8     2               3              8     2                        9     3      3
      it 2 ( z 3 +z )              −t 2 y ( N 3 + )                           −( N 2 + ) t 2 y          [e
∫e         3
                        dz ≤ ∫e                 9     3
                                                          dy =    ∫       e     9     3
                                                                                                   dy =−        3
                                                                                                                  8    2
                                                                                                                                           →0
lN±                          lN±                                  0
                                                                                                               t ( N2 + )
                                                                                                                2
                                                                                                                  9    3
при N → ∞ . Переходя к пределу при N → ∞ , имеем