Асимптотические методы. Глушко А.В - 46 стр.

                                               46

седловая точка и если h′( z0 ) =h′′( z0 ) =... =h ( m ) ( z0 ) =0, но h ( m +1) ( z0 ) ≠0 ,
точку z 0 называют седловой точкой порядка m +1 . Через седловую точку
проходят две (или более) линии уровня (т.е. кривых ϕ =const ). Кроме
того, через седловую точку проходят две или более линии постоянной
фазы (т.е. кривых ψ =const ), являющихся линиями наискорейшего спуска
или подъема функции ϕ( x, y ) . Найти вид и расположение этих линий в
окрестности седловой точки нетрудно. Если седловая точка имеет порядок
                                   1 (m)
m,     то      h( z ) ≈h( z0 ) +      h ( z0 )( z −z0 )m .   Поэтому,   если      положить
                                   m!
1 ( m)
   h ( z0 ) =Keiκ и       z −z0 =zeiθ , то h( z ) ≈h( z0 ) +Kr m ei (κ +mθ ) =ϕ +iψ или
m!
ϕ ≈ϕ0 +Kr m cos(κ +mθ ); ψ ≈ψ 0 +Kr m sin(κ +mθ ), здесь                   h( z0 ) =ϕ0 +iψ 0 .
Таким       образом,    линии        уровня      ϕ =ϕ0       приближенно     описываются
уравнением              cos(κ +mθ ) =0                   или        κ +mθ =( n +0,5)π ;
   0,5π −κ +π n
θ=               , n =1, 2, ...,2m. Это уравнение дает 2m линий уровня
        m
функции ϕ . Эти линии делят окрестность z0 на m «холмов» и m «долин».
Точно       так    же      из        уравнения        ψ =ψ 0 +Kr m sin(κ +mθ ); ψ =ψ 0 ,
                                             −κ +π n
следовательно, sin(κ +mθ ) =0; κ +mθ =π n; θ =        ; n =1, 2, ..., 2m .
                                                 m
      Эффективным методом построения асимптотических разложений
для интегралов по контурам, концевые точки которых располагаются в
двух разных «долинах», является «метод перевала», развитый Риманом и
Дебаем. Идея этого метода заключается в деформировании контура
интегрирования C в некоторый новый контур C ′ , удовлетворяющий
следующим условиям
   1. Контур C ′ проходит через седловую точку (т.е. через нуль функции
      h′( z ) ).
     2. Мнимая часть ψ             функции h( z ) на этом контуре должна быть
        постоянна.
     3. Контур C ′ представляет собой линию наискорейшего спуска.
       Приведем пример.
       Пример 22. Найти асимптотику при t → ∞ интеграла Эйри