Асимптотические методы. Глушко А.В - 43 стр.

                                                    43
                             Метод перевала
        Вводные рассуждения и примеры.
        До сих пор мы рассматривали только интегралы, у которых
показатель экспоненты в подынтегральной функции был чисто мнимым
или вещественным. В этом параграфе исследуем случай комплексных
показателей степени экспоненты, т.е. обратимся к интегралам вида
                                      I (t ) =∫f ( z )eth ( z ) dz ,                                (28)
                                               C

где     t >0 − достаточно большое число, C − контур интегрирования в
комплексной z − плоскости, а f ( z ) и h( z ) − аналитические функции z ,
регулярные в некоторой области плоскости z , содержащей контур
интегрирования.
        Как известно, функция h( z ) называется аналитической в некоторой
области D , если она определена и имеет производную в каждой точке этой
области. Функция h( z ) , аналитическая в некоторой области D , за
исключением конечного числа точек, называется мероморфной в D . Эти
исключительные точки называются особенностями данной функции.
        Функция h( z ) комплексного переменного z =x +iy называется
                                                  h( z0 +∆z ) −h( z0 )
дифференцируемой в точке                      z0 , если предел            lim
                                           ∆z → 0         ∆z
существует и не зависит от выбора ∆z . Этот предел называется
                                                                                            dh( z0 )
производной функции h( z ) в точке z 0 и обозначается h′( z0 ) или                                   .
                                                                                              dz
Подстановка                z =x +iy             в            выражение           h( z )        дает
h( z ) =h( x +iy ) =ϕ ( x, y ) +iψ ( x, y ) . Отсюда
      dh( z0 )         ϕ( x0 +∆x, y0 ) −ϕ ( x0 , y0 )           ψ ( x0 +∆x, y0 ) −ψ ( x0 , y0 )
               =lim                                   +i lim                                    .
        dz      ∆x → 0            ∆x                     ∆x → 0             ∆x
                      dh ∂ϕ  ∂ψ
Таким образом,          = +i    при z =z0 . Аналогично, выбирая ∆z =i∆y ,
                      dz ∂x  ∂x
находим
   dh( z0 )         ϕ( x0 , y0 +∆y ) −ϕ( x0 , y0 )           ψ ( x0 , y0 +∆y ) −ψ ( x0 , y0 )
            =lim                                   +i lim                                     .
     dz      ∆y → 0             i∆y                   ∆y → 0              i∆y
                 dh( z ) ∂ψ     ∂ϕ
Отсюда                  =    −i               при           z =z0 .    Если     функция        h( z )
                  dz      ∂y    ∂y