Асимптотические методы. Глушко А.В - 41 стр.

                                                          41

                                                               � 1�                              1
                                                             Г� �       1 �
                                                                                  m! �
                                      x0 +δ                                                      m

                        F (t , x0 ) = ∫ f ( x)eitS ( x dx = � � ⋅ t m ⋅ � ( m )
                                                                 m     −
                                                                                           �       ×
                                      x0
                                                                m           � � S    ( x0�   � )          (26)
                                 �          iπ                     � �             � −m1� �
                        ×exp � itS ( x0 ) + sgn S ( x0 )� ⋅ � f ( x0 ) +O � t � � .
                                                         (m)

                               �           2m                     � �             � � �
           Доказательство. Пусть для определенности                                S ( m ) ( x0 ) >0 . Сделаем
замену переменной x =ψ ( y ) такую, что                                  S ( x ) −S ( x0 ) = y m при малых
x −x0 , и к полученному интегралу применим лемму Эрдейи.
           Пример 20.                Функция Бесселя целого индекса                            n ≥0 имеет
                                                                    π

                                                                    ∫cos ( x −sin ϕ −nϕ )dϕ .
                                                               −1
интегральное представление J n ( x) =π                                                            Вычислим
                                                                    0

асимптотику J n ( x) при x → +∞ и фиксированном n . Имеем
                                                          π
                                                    1
                                          J n ( x) = Re ∫eix sin ϕ e −inϕ dϕ .
                                                    π   0

Функция S (ϕ) =sin ϕ имеет при x ∈[0; π ] единственную стационарную
         π                � π�     � � π
точку ϕ = , в которой S � � =1; � S //�   =−1 . Поэтому главный вклад в
          2                � 2�     � � 2
асимптотику дает именно эта точка. Из формулы теоремы 4 получаем, что
                                                      �   π n π�
                                                 cos � x − − � +O ( x −1 ) .
                                               2
                                 J n ( x) =
                                              πx        �  2  4�
Вклад от ϕ =0 и ϕ =π есть O ( x −1 ) .
     Пример 21. Функция Бесселя вещественного индекса                                                  ν имеет
интегральное представление
                             π                                             ∞
                     1                              sinνπ
          Jν (ν x ) = ∫cos �� ν (ϕ −x sin ϕ�� ) dϕ −        exp �� −ν (t +x sh t�� ) dt . (27)
                     π0                               π ∫ 0

           Вычислим асимптотику Jν (ν x ) при ν → +∞ , x >1 - фиксировано.
                                                                                                    et −e −t
Второе слагаемое в (27) имеет порядок                                     O (ν −1 ) , т.к.    sh t =         .
                                                                                                       2
                  /
    � et −e−� t        et −e−t
�            �        =        >0 - монотонно возрастающая функция sh t ≥0 .
  �      2 �              2