Асимптотические методы. Глушко А.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
до
(
)
Ot
−∞
.
Доказательство. Покроем отрезок
I
конечным числом открытых
интервалов
{
}
Ω
так, чтобы каждая критическая точка
j
x
содержалась
ровно в одном интервале
j
α
Ω
и устроим разбиение единицы
(
)
{
}
x
α
ϕ ,
отвечающее покрытию
{
}
α
Ω
. Тогда
1
j
α
ϕ
≡
в некоторой окрестности
точки
j
x
. Продолжим функции
(),()
fxSx
на всю ось, полагая их
равными нулю при
[
]
,
xab
∉
. Тогда
()
()()exp()
FtfxitSxdx
α
α
ϕ
∞
−∞
=
∑
∫
.
Если
,1
j
jk
αα
≠≤≤
, то интеграл, содержащий
()
x
α
ϕ
, имеет
порядок
(
)
Ot
−∞
в силу леммы 1.
Вычислим вклад от граничной критической точки в простейшем
случае.
Теорема 3. Пусть
[
)
(),();,0
fxSxCaa δδ
∞
∈+>
и
/
()0
Sa
≠
.
Тогда для интеграла
()
()
()()exp
b
a
FtfxitSadx
=
∫
вклад в асимптотику
()
Ft
при
t
→∞
от точки
a
имеет вид
()()
1
()
//
0
()1
,
()()
k
itSak
k
xa
fxd
FtaeitMM
SxSxdx
∞
−−
=
=

−=


∑
!
.
Это разложение можно дифференцировать по
t
любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
(
)
/
()exp()
(,)
()
faitSa
Fta
itSa
=− .
Доказательство следует из теоремы 1 и определения вклада.
Эталонные интегралы
Рассмотрим интеграл
1
0
()()
a
itx
Ф txfxedx
α
β −
=
∫
.
Лемма 2 (Эрдейи ) . Пусть
1,0
αβ
≥>
, функция
[
]
(
)
()0;
fxCa
∞
∈ и
()
fx
обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке
xa
=
. Тогда 
                                                         36

до O (t −∞ ) .
        Доказательство. Покроем отрезок                               I          конечным числом открытых
интервалов       {Ωα } так, чтобы             каждая критическая точка x j содержалась
ровно в одном интервале Ωα j и устроим разбиение единицы                                                     {ϕ ( x )},
                                                                                                               α

отвечающее покрытию                  {Ωα }.       Тогда        ϕα j ≡1             в некоторой окрестности
точки      x j . Продолжим функции f ( x), S ( x) на всю ось, полагая                                               их
равными нулю при x ∉[a, b ] . Тогда
                                              ∞
                              F (t ) =∑       ∫ f ( x)exp (itS ( x) )ϕ dx .        α
                                        α −∞

        Если     α ≠α j , 1 ≤ j ≤k , то интеграл, содержащий                                        ϕα ( x) , имеет

порядок O (t −∞ ) в силу леммы 1.
     Вычислим вклад от граничной критической точки в простейшем
случае.
        Теорема 3.         Пусть         f ( x), S ( x) ∈C ∞ [a ; a +δ ) , δ >0                     и    S / (a ) ≠0 .
                                        b
Тогда для интеграла F (t ) =∫f ( x)exp (itS (a ))dx вклад в асимптотику F (t )
                                        a

при t → ∞ от точки a имеет вид
                               ∞
                                                        � f ( x)�                      �       1 d�
          F (t , a ) �eitS ( a ) ∑ (−it )
                                         −k −1
                                                  Mk�       /   �                      � M =S / ( x) dx� .
                              k =0                       � S ( x) �       x =a          �               �
        Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз.
                                                                                   f ( a)exp (itS ( a) )
Главный член асимптотики имеет вид F (t , a ) =−                                                         .
                                                                                         itS / (a )
        Доказательство следует из теоремы 1 и определения вклада.
                              Эталонные интегралы
        Рассмотрим интеграл
                                                  a
                                                                           α
                                      Ф(t ) =∫x β−1 f ( x)eitx dx .
                                                  0

        Лемма 2 (Эрдейи). Пусть α ≥1 , β >0 , функция f ( x) ∈C ∞ ([0; a ]) и
f ( x) обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке
x =a . Тогда

Страницы