ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36
до
(
)
Ot
−∞
.
Доказательство. Покроем отрезок
I
конечным числом открытых
интервалов
{
}
α
Ω
так, чтобы каждая критическая точка
j
x
содержалась
ровно в одном интервале
j
α
Ω
и устроим разбиение единицы
(
)
{
}
x
α
ϕ ,
отвечающее покрытию
{
}
α
Ω
. Тогда
1
j
α
ϕ
≡
в некоторой окрестности
точки
j
x
. Продолжим функции
(),()
fxSx
на всю ось, полагая их
равными нулю при
[
]
,
xab
∉
. Тогда
()
()()exp()
FtfxitSxdx
α
α
ϕ
∞
−∞
=
∑
∫
.
Если
,1
j
jk
αα
≠≤≤
, то интеграл, содержащий
()
x
α
ϕ
, имеет
порядок
(
)
Ot
−∞
в силу леммы 1.
Вычислим вклад от граничной критической точки в простейшем
случае.
Теорема 3. Пусть
[
)
(),();,0
fxSxCaa δδ
∞
∈+>
и
/
()0
Sa
≠
.
Тогда для интеграла
()
()
()()exp
b
a
FtfxitSadx
=
∫
вклад в асимптотику
()
Ft
при
t
→∞
от точки
a
имеет вид
()()
1
()
//
0
()1
,
()()
k
itSak
k
xa
fxd
FtaeitMM
SxSxdx
∞
−−
=
=
−=
∑
!
.
Это разложение можно дифференцировать по
t
любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
(
)
/
()exp()
(,)
()
faitSa
Fta
itSa
=− .
Доказательство следует из теоремы 1 и определения вклада.
Эталонные интегралы
Рассмотрим интеграл
1
0
()()
a
itx
Ф txfxedx
α
β −
=
∫
.
Лемма 2 (Эрдейи ) . Пусть
1,0
αβ
≥>
, функция
[
]
(
)
()0;
fxCa
∞
∈ и
()
fx
обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке
xa
=
. Тогда
36 до O (t −∞ ) . Доказательство. Покроем отрезок I конечным числом открытых интервалов {Ωα } так, чтобы каждая критическая точка x j содержалась ровно в одном интервале Ωα j и устроим разбиение единицы {ϕ ( x )}, α отвечающее покрытию {Ωα }. Тогда ϕα j ≡1 в некоторой окрестности точки x j . Продолжим функции f ( x), S ( x) на всю ось, полагая их равными нулю при x ∉[a, b ] . Тогда ∞ F (t ) =∑ ∫ f ( x)exp (itS ( x) )ϕ dx . α α −∞ Если α ≠α j , 1 ≤ j ≤k , то интеграл, содержащий ϕα ( x) , имеет порядок O (t −∞ ) в силу леммы 1. Вычислим вклад от граничной критической точки в простейшем случае. Теорема 3. Пусть f ( x), S ( x) ∈C ∞ [a ; a +δ ) , δ >0 и S / (a ) ≠0 . b Тогда для интеграла F (t ) =∫f ( x)exp (itS (a ))dx вклад в асимптотику F (t ) a при t → ∞ от точки a имеет вид ∞ � f ( x)� � 1 d� F (t , a ) �eitS ( a ) ∑ (−it ) −k −1 Mk� / � � M =S / ( x) dx� . k =0 � S ( x) � x =a � � Это разложение можно дифференцировать по t любое число раз. f ( a)exp (itS ( a) ) Главный член асимптотики имеет вид F (t , a ) =− . itS / (a ) Доказательство следует из теоремы 1 и определения вклада. Эталонные интегралы Рассмотрим интеграл a α Ф(t ) =∫x β−1 f ( x)eitx dx . 0 Лемма 2 (Эрдейи). Пусть α ≥1 , β >0 , функция f ( x) ∈C ∞ ([0; a ]) и f ( x) обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке x =a . Тогда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »