Асимптотические методы. Глушко А.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
()
Sx
(т.к. вблизи них осцилляция замедляется ), а также особенности
функций
f
и
S
. Заметим, что в отличие от интегралов Лапласа , для
интегралов Фурье гладкость
f
и
S
существенна на всем промежутке
интегрирования .
В случае, когда фазовая функция
()
Sx
не имеет стационарных
точек, асимптотика
()
Ft
легко вычисляется с помощью интегрирования
по частям.
Теорема 1. Пусть
[
;
Iab
=
- конечный отрезок
/
()0,
SxxI
≠∈
,
12
()(),()()
NN
fxCISxCI
++
∈∈. Тогда при
t
→∞
()
()
1
1
()()
//
0
1()
()
()()
k
b
N
b
k
itSxitSxN
a
k
a
dfx
fxedxiteOt
SxdxSx
−
−−
−
=


=⋅⋅+





∑
∫
. (24)
Доказательство. Интегрируя по частям, получаем , что разность
между
()
Ft
и суммой в правой части (24) равна
() ()
/
/
()
exp(),
()
b
N
N
a
fx
itMitSxdx
Sx
−



∫
где
/
1
()
d
M
Sxdx
−
=⋅
.
По лемме Лебега -Римана последний интеграл есть
(1)
O
. Главный
член асимптотики имеет вид
()
()()2
//
1()()
()
()()
itSbitSa
fbfa
FteeOt
itSbSa
−

=−+


.
С помощью интегрирования по частям можно вычислять также
асимптотику при
x
→∞
интегралов вида
()
()()
iSt
x
Fxftedt
∞
=
∫
, где
()
St
-
вещественнозначная функция ,
/
()0
St
≠
при
1
t
!
.
Пример 19. Пусть
[
(
)
2///
()0;,()0,()0,()0
ftCftftft
∈∞><>
при
1
t
!
,
(
)
()/
()(1),0,1;()(),
j
ftojftoftt
===→+∞
. Тогда при
x
→+∞
()
()
()()1(1)
iStix
x
ftedtifxeo
∞
=−+
∫
.
Проинтегрируем
()
Fx
по частям дважды .
()
/
1
()()()()
ititit
x
xx
Fxftdeiefxiftedt
t
∞∞
∞
==−+=
∫∫
                                                                            33
S ( x) (т.к. вблизи них осцилляция замедляется), а также особенности
функций                 f и S . Заметим, что в отличие от интегралов Лапласа, для
интегралов Фурье гладкость f и S существенна на всем промежутке
интегрирования.
            В случае, когда фазовая функция                                           S ( x) не имеет стационарных
точек, асимптотика F (t ) легко вычисляется с помощью интегрирования
по частям.
            Теорема 1. Пусть                           I =[a ; b ] - конечный отрезок                     S / ( x ) ≠0 , x ∈I ,
f ( x) ∈C N +1 ( I ), S ( x) ∈C N +2 ( I ) . Тогда при t → ∞
        b                               N −1
                                                       d� ���
                                                            k
                                                               f� ( x) �
                                                                         � ⋅ eitS ( x ) a +O (t −N ) . (24)
                                                1
                        ∑    (    )
                                                   −k −1                                b
        ∫a             =            �                ⋅
                    itS ( x )
          f ( x ) e dx         it          � S / ( x) dx� �      � /
                        k =0          �� �               ��   S � ( x)��
          Доказательство. Интегрируя по частям, получаем, что разность
между                      F (t )              и       суммой                 в     правой        части      (24)      равна
                                    /
                �    f ( x)�                                 −1 d
            b

(it )       ∫a �� M S / ( x�� ) exp (itS ( x) )dx , где M =S / ( x) ⋅ dx .
    −N              N




            По лемме Лебега-Римана последний интеграл есть O(1) . Главный
член асимптотики имеет вид
                                        1 � f (b)         f ( a) itS ( a� )
                                F (t ) = � / eitS ( b ) − /     e � +O (t −2 ) .
                                        it � S (b)       S (a)           �
            С помощью интегрирования по частям можно вычислять также
                                                                                              ∞
асимптотику при x → ∞ интегралов вида F ( x) =∫f (t )eiS ( t ) dt , где                                                S (t ) -
                                                                                              x

вещественнозначная функция, S / (t ) ≠0 при t �1 .
            Пример 19. Пусть f (t ) ∈C 2 ([0; ∞]) , f (t ) >0, f / (t ) <0 , f // (t ) >0 при
t       1 , f ( j ) (t ) =o(1), j =0,1; f / (t ) =o ( f (t ) ) , t → +∞ . Тогда при x → +∞
                                               ∞

                                               ∫f (t )e
                                                           iS ( t )
                                                                      dt =−if ( x)eix (1 +o(1) ) .
                                               x

            Проинтегрируем F ( x) по частям дважды.
                                                   ∞                                              ∞
                                    F ( x) =∫f (t ) d (eit ) =−ieit f ( x) +i ∫f / (t )eit dt =
                                                   1                      ∞


                                            x
                                                   t                      x
                                                                              x

Страницы