Асимптотические методы. Глушко А.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
Мы воспользовались тем , что
(
)
ln0,0
xxx
γ
δ−
=→
при любом сколь
угодно малом
0
δ
>
.
Остается исследовать интеграл
()
1
0
0
()ln
a
xt
γ
β −−
=
∫
.
Сделаем замену ,
y
txyx
t
==
. Тогда (т.к. при
1
a
<
имеем
0
yatt
<<<
)
()
()
()
()
()
1
0
0
1
0
0
()lnln
ln
ln1.
ln
at
y
at
y
Itfxtyytedy
y
fxttyedy
t
γ
β
β
γ
γ
β
β
−
−−
−
−−
=⋅−=

=−


∫
∫
Разложим функцию
(
)
1,1
zz
γ
−<
в ряд Тейлора :
(
)
110()
zz
γ
−=+
.
()
()
()
()()
()
()
()
()
[]
1
11
00
00
1
00
0
()lnln0ln
ln()ln()(),
atat
yy
y
Itfxttyedyfxttyyedy
fxttyedy Ф tfxtt Фt
γγ
ββββ
γγ
βββ
β
−
−−−−−−
∞
−−−−
=+=

=+=Γ+


∫∫
∫
здесь
()
11
0
1
()0ln(1)
ln
at
yy
at
Ф tyedyyyedyo
t
ββ
∞
−−−−
=+=
∫∫
.
Пример 18. Найти асимптотику интеграла
1
1
0
()
tx
x
Ftedx
−−
=
∫
при
t
→∞
.
Решение. В этом интеграле
1
1
();()
x
Sxxfxxe
−
−
==− . Функция
1
x
e
−
обращается в нуль при
0
x
=
вместе со всеми своими производными.
Применение леммы Ватсона дает только оценку
(
)
0
t
−∞
. Чтобы получить
более точную оценку , заметим, что функция
1
txx
−
−−
достигает
максимума при
1
2
xt
−
=
. Сделаем замену переменной
1
2
xt
τ
−
=
, тогда
1
2
0
1
()exp(())
t
Ftttd
ττ
τ
−
=−+
∫
.
Функция
(
)
1
S
τττ
−
=−−
достигает максимума при
1
τ
=
, причем
//
(1)2,(1)2
SS
=−=−
. Применяя теорему 3, получаем
()
3
2
4
()1(1),
t
FtteOtπ
−
−
=+→+∞
. 
                                                                                        31

      Мы воспользовались тем, что ln x =0 ( x −δ ), x → 0 при любом сколь
                                                                                               γ



угодно малом δ >0 .
                                                                                                               a
      Остается исследовать интеграл I (t ) = f ( x0 ) ∫x β−1 ln x e −xt dx .
                                                                                                                                        γ

                                                                                                               0

                           y
Сделаем замену tx = y , x = . Тогда (т.к. при a <1 имеем 0 < y

Страницы