Асимптотические методы. Глушко А.В - 29 стр.

                                                                29
      1. Разложение подынтегральной функции
      Пример 15. Найти асимптотическое                                            разложение    интеграла
        1
J (ε ) =∫sin ε x 2 dx при ε → +0 .
        0

      Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд
                    ε 3 x 6 ε 5 x10
      sin ε x =ε x −
                2
                           +2
                                    +O (ε 7 )                        ( x <1) . Интегрируя, получим
                     3!       5!
                    1
                        �
                      ε 3 x 6 ε 5 x10      7 �      ε ε3   ε5
      J (ε ) =∫� ε x −      2
                             +        +O (ε ) � dx = −   +     +O (ε 7 ) .
              0�                               �
                        3!      5!                  3 3!7 5!11
      Пример 16.                             Найти асимптотическое разложение интеграла
        x    3
            −
J (ε ) =∫t e dt при x → +0 .
             4 −t

        0

      Решение.                        Разложим               подынтегральную          функцию     в    ряд
           t2 t3 t4
e−t =1 −t + − + +0 (t 5 ) . Проинтегрируем полученное выражение
           2 6 24
                                                                     5   9   13
                                x     3         x        4     1           17
                                     −                  −        t4 t4 t 4
                J ( x) =∫t e dt =∫(t  4 −t               4
                                                             −t + − + +O(t 4 )) dt =
                                                               4

                                0               0
                                                                 2 6 24
                                        1
                                      4 45 2 94 2 134 17
                                =4 x − x + x − x +O( x 4 ).
                                        4
                                      5    9    39

      2. Интегрирование по частям
      Пример 17.      Найти асимптотическое                                       разложение    интеграла
       ∞
          e −t
J ( x) =∫ 2 dt при x → +∞.
        x
          t
                            1                             2
      Решение. Обозначим u = 2 ; d v =e−t dt , тогда du =− 3 dt ; v =−e−t .
                            t                             t
                                                    t =∞       ∞                  ∞
                                             e−t                  e−t   e−x    e−t
Отсюда                              J ( x) =− 2              −2 ∫ 3 dt = 2 −2∫ 3 dt ,                 далее
                                             t      t =x        x
                                                                  t     x    x
                                                                               t
       ∞                                            ∞
          e −t  e −x e −x    e −t
J ( x) =∫ 3 dt = 2 −2 3 +6 ∫ 4 dt . Так как
        x
          t     x     x    x
                             t
            ∞                         ∞ −t                              ∞ −t
               e−t                       e         −x 1       −x 1         e
            ∫x t 4                    ∫x t 5                            ∫x t 6 dt <
                         −x     −4
                   dt =e    ⋅ x    −4        dt =e       −4 e       +20
                                                      x4         x5