Асимптотические методы. Глушко А.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
леммы Ватсона.
Теорема 3. Пусть
[
]
;
Iab
=
- конечный отрезок и выполнены
условия
1
о
.
(),()()
fxSxCI
∈
.
2
о
.
Sx
достигается только в точке
00
:
xaxb
<<
.
3
о
. (),()
fxCSxC
∞
∈∈ при
x
, близких к
0
x
и
(
)
//
0
0
Sx
≠
.
Тогда при
t
→∞
справедливо асимптотическое разложение
()
()
()
()
0
0
//
0
2
()1(1),
tSx
Ftefxot
tSx
π
=−+→∞
.
Доказательство. В окрестности точки
0
x
сделаем замену
переменной
(
)
(
)
2
0
(),
SxSxyxy
ϕ−=−=
и выберем окрестность такой,
чтобы
00
y
δδ
−≤≤
. Интеграл по оставшейся части отрезка
I
экспоненциально мал по сравнению с
(
)
(
)
0
exp
tSx
, и мы его отбросим.
Имеем (при некотором
0
c
>
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
0
2/
0
//
0
0
//
000
000
//
//
0
0
()exp1exp()
exp1().
11
exp(0)(0)(1)
22
22
exp1(1)(1).
ct
ctty
tSx
FttSxOctyfyydy
tSxOcefyyfyydy
FttSx Г fxfxo
tSxfxofxoe
tSx
tSx
δ
δ
δ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
π
π
−
−
−−
=+⋅−=

=+⋅+−−



=++=



−
=⋅+=−+
∫
∫
Точно так же доказывается
Теорема 4. Пусть все условия теоремы 3 выполнены за исключением
одного
0
xa
=
. Тогда при
t
→∞
:
()
12
()[()(1)]
2()
tSa
Ftfaoe
tSa
π−
=+
′′
(т .е. правая часть асимптотического представления отличается от
соответствующего выражения в теореме 3 множителем
1
2
).
Пример 11. Докажем формулу Стирлинга
(
)
(1)21(1),
xx
xxexoxπ
−
Γ+=+→+∞
. 
                                                      26
леммы Ватсона.
       Теорема 3.             Пусть         I =[a ; b ] - конечный отрезок и выполнены
условия
       1о.    f ( x) , S ( x) ∈C ( I ) .
       2о. max S ( x) достигается только в точке x0 : a 0 )
                                                  δ

                          (
F (t ) =exp (tS ( x0 )) 1 +O (c       −ct
                                            )) ⋅ ∫exp (−ty ) f (ϕ ( y ))ϕ ( y )dy =
                                                           2                /

                                               −δ
                                       δ

                  (               )
=exp (tS ( x0 )) 1 +O (c −ct ) ⋅ ∫e −ty �� f (ϕ ( y ))ϕ / ( y ) + f (ϕ (−y ))ϕ / (−y )�� dy .
                                              2



                                       0

                       1 �       1�
F (t ) =exp (tS ( x0 )) Г �        � �� f ( x0 )ϕ (0) + f ( x0 )ϕ (0) +o(1) �� =
                                                 /               /

                       2 �       2�
                                      −2                        2π
=exp (tS ( x0 )) π f ( x0 ) ⋅                 (1 +o (1) ) = −          ( f ( x0 ) +o(1) ) etS ( x0 ) .
                                   t S ( x0 )
                                      //
                                                             tS ( x0 )
                                                               //


       Точно так же доказывается
       Теорема 4. Пусть все условия теоремы 3 выполнены за исключением
                                                           1 −2π
одного x0 =a . Тогда при t → ∞: F (t ) =                               [ f (a ) +o(1)]etS ( a )
                                                           2 tS ′′(a )
(т.е. правая часть асимптотического представления отличается от
                                                                                     1
соответствующего выражения в теореме 3 множителем                                      ).
                                                                                     2
       Пример 11. Докажем формулу Стирлинга
                          Γ ( x +1) = 2π xe−x x x (1 +o(1) ), x → +∞.

Страницы