Асимптотические методы. Глушко А.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
[]
()
()
()
1
///
()exp()
1()1
()exp()
()()()
a
aa
Sxt
aa
a
fxSxt
fx
fxd
FtetSxdx
tSxSttdxSx
δ
δδ
α
+
++


==−



∫∫
Интегрируя точно так же еще
1
N
−
раз, получаем
() ()
()
1
1
/
0
/
10
/
()
()exp()
()
()
exp(),().
()
N
a
k
k
a
k
a
NN
a
fk
FttMtSx
Sx
fx
tMtSxdxMI
Sx
δ
δ
+
−−
=
+
−−

=−−




−=




∑
∫
(20)
Внеинтегральные подстановки в (20) при
=
дают
N
слагаемых
асимптотического ряда, а подстановка
xa
δ
=+
экспоненциально мала по
сравнению с
(
)
exp()
tSx
. Последний интеграл в (20) есть
(
)
(
)
1
0exp()
N
ttSa
−−
, т.е., по крайней мере , того же порядка , что и последнее
слагаемое в сумме асимптотического разложения :
()
()
1
1
0
()exp()
N
kn
k
k
FttSactOt
−
−−−
=

=+


∑
, причем
N
- произвольно.
Дифференцирование
()
Ft
по
t
приводит к интегралу того же вида.
Для него можно повторить те же рассуждения , что доказывает
возможность почленного дифференцирования .
Теорема 2. Пусть условия 1
о
и 2
о
теоремы 1 выполнены и
1
()
SxC
∈
при
x
, близких к
a
,
/
()0
Sa
≠
. Тогда при
t
→∞
справедлива формула
()
/
()
(),
()
tSa
fae
Ftt
tSa
−
→∞
!
. (21)
Доказательство. Пусть
0
δ
>
такое, что при
[
]
;
xaaI
δ
δ
∈+=
()0
Sx
′
≠
. Интеграл по оставшемуся участку мы отбросим, т.к. он имеет
порядок
(
)
(
)
(
)
0exp(),0
tSacc
−>
. Сделаем замену
()(),
SxSaxI
δ
τ
−=−∈
. Тогда по теореме об обратной функции,
(
)
1/
,0,
xC
ϕτϕδ

=∈

. (Очевидно,
(
)
/
()0
SaSaδδ
=−+>
).
Применяя к интегралу
()()()
()
()
/
/
0
exp()exp
tSatfd
δ
τϕτϕττ
−
∫
лемму
3, получаем (21).
Пример 10. Еще Лаплас получил асимптотическое разложение для 
                                                                24
                                                                           a +δ
         1
             a +δ
                  f ( x)                  f ( x)exp [S ( x)t ]                     1
                                                                                       a +δ
                                                                                           d � f ( x� )
F1 (t ) =     ∫a S / ( x) � �
                         α �        �   =                                         −     ∫a dx �� S / ( x�� ) exp (tS ( x) )dx
                               S ( x )t
                             e
         t                                      S / (t )       a
                                                                                   t
       Интегрируя точно так же еще N −1 раз, получаем
                                     N
                                                             � f (k )�             a +δ
                    F1 (t ) =∑ (−t )                     M k � / � exp (tS ( x ) ) a −
                                                 −k −1

                                    k =0                      � S ( x� )
                                            /                        (20)
                         a +δ
                            �   �f ( x �
                                       )  �
          −t −N −1 ∫ � M N � / � � exp (tS ( x ) ) dx , ( M 0 =I ) .
                   a �        � S ( x� )�
     Внеинтегральные подстановки в (20) при x =a дают N слагаемых
асимптотического ряда, а подстановка x =a +δ экспоненциально мала по
сравнению           с                exp (tS ( x ) ) .        Последний                интеграл         в     (20)      есть
0 (t −N −1 exp (tS (a ) )) , т.е., по крайней мере, того же порядка, что и последнее
слагаемое                в                     сумме              асимптотического                          разложения:
                              N −1
                          �                                   �
F (t ) =exp (tS (a ) ) �    ∑c t         k
                                             −k −1
                                                     +O (t −n� ) , причем N - произвольно.
                          �   k =0                              �
       Дифференцирование F (t ) по t приводит к интегралу того же вида.
Для него можно повторить те же рассуждения, что доказывает
возможность почленного дифференцирования.
       Теорема 2. Пусть условия 1о и 2о теоремы 1 выполнены и S ( x) ∈C1
при x , близких к a , S / (a) ≠0 . Тогда при t → ∞ справедлива формула
                                                         −f ( a)etS ( a )
                                                 F (t ) �                 , t→∞ .                                       (21)
                                                           tS / (a )
       Доказательство. Пусть                               δ >0 такое, что                     при    x ∈[a ; a +δ ] =Iδ
S ′( x ) ≠0 . Интеграл по оставшемуся участку мы отбросим, т.к. он имеет
порядок                  0 (exp (t ( S (a ) −c ))) , c >0 .                                   Сделаем                замену
S ( x ) −S (a ) =−τ , x ∈Iδ .                    Тогда       по      теореме            об      обратной        функции,
x =ϕ (τ ) , ϕ ∈C1 �� 0, δ�� / . (Очевидно, δ / =S ( a ) −S (a +δ ) >0 ).
                                                                      δ/

       Применяя к интегралу exp (tS (a ) ) ∫exp (−tτ ) f (ϕ (τ ))ϕ / (τ ) dτ лемму
                                                                       0

3, получаем (21).
       Пример 10. Еще Лаплас получил асимптотическое разложение для

Страницы