Асимптотические методы. Глушко А.В - 22 стр.

                                                                                      22
Фk (t ) доказано. Оценим достаточный член
                            b                                                              ∞                                         −( β +N +1)
    | RN (t ) | = ∫x             β −1
                                        rN ( x )exp (−tx ) dx ≤cN ∫x  2                          β +N              α
                                                                                                        exp �� −tx��       dx =c t
                                                                                                                                /
                                                                                                                                         α         .
                            a                                                              0


        Так как O (e −ct ) =O (t −N ) при любом целом N ≥0 , то

                                                                                      � −                                               ( β +N +1� )
              N
                      f ( k ) (0)                   1 N f ( k ) (0) � k +β� −k α+β
 Ф(t ) =∑                         Фk (t ) +RN (t ) = ∑             Г�       � t    +O  �� t                                                  α
                                                                                                                                                   ��   .
             k =0         k!                        α k =0 k !        � α �              �                                                         �
        Асимптотическое разложение Ф(t ) доказано. Дифференцирование
Ф(t ) по t приводит к интегралу того же вида, откуда следует возможность
почленного дифференцирования.
        Лемма 3. Если функция                                                         f ( x) непрерывна при                          x ∈[0; a ] и
α >0, β >0 , то при t → ∞ справедлива асимптотическая формула (19).
        Доказательство. Пусть 0 <δ <1 . Тогда интеграл
                                                                     a
                                                        Ф1 (t ) = ∫ x β −1 f ( x)exp (−txα ) dx
                                                                     δ −1
                                                                 t    α



имеет порядок O e−ct                ( ) в силу леммы 1. Поэтому достаточно доказать, что
                                                    δ




                                            δ −1
                                        t    α


интеграл Ф2 (t ) = ∫ x β −1 f ( x)exp (−txα ) dx имеет асимптотику (19). Имеем
                                            0

             �                             �
                          δ −1                                              δ −1
                      t    α                             t α
   Ф2 (t ) =�             ∫0 x β −1 −txα �
                                   e    dx        f (0) +  ∫0 e [ f ( x) − f (0)]dx ≡F1 (t ) +F2 (t ) .
                                                             x β −1 −txα
               �                             �
                 ��                            ��
Рассмотрим интегралы F1 и F2 по отдельности.
              � ∞ ∞�
                                                                                                         β�
                                                                                                                       ( )
                                                                                                 p
                                                                            f (0) −α �
    F1 (t ) =� ∫−∫�                             f (0) x   β −1 −txα
                                                             e         dx =      t Г�                      � +O e
                                                                                                                  −ct δ
                                                                                                                        , где c >0 .
               � 0 δ−1 �                                                     α         �                 α�
                �  tα �

        В                        силу                            непрерывности                                     функции                       f ( x) ,
                                                                 δ −1
                                                �                                                  �
 f ( x) − f (0) ≤ε (t ) , � 0 ≤ x ≤t                              α
                                                                            , ε (t ) → 0 при t → ∞� . Следовательно,
                           �                                                                         �
                                                                            ∞                                  β
                                                                                   β −1 −txα              �   −�
                                                    F2 (t ) =ε (t ) ∫x                e        dx =O � t �     α
                                                                                                                       .
                                                                            0                         � �