Асимптотические методы. Глушко А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
Заметим, что
(
)
//
0
0
Sx
<
. Последний интеграл равен
()
()
()
2
1
//
2
2
0
//
0
2
,
t
t
tSxedt
tSx
ε
τ
ε
π
τ
−
−
−

−→∞

−
∫
! , так как
2
2
2
ed
τ
τπ
∞
−
−∞
=
∫
.
Итак, мы получили асимптотическую формулу
()
()
()
()
0
0
//
0
2
(),
tSx
Ftfxet
tSx
π
. (17)
2) Пусть теперь
0
x
совпадает с одним из концов отрезка
I
,
например,
0
xa
=
, и пусть для простоты
/
()0,()0
Safa
≠≠
. Заменяя
()
Ft
интегралом по отрезку
[
]
;aa
ε
+
и заменяя приближенно на этом отрезке
функции
//
()();()()()()
fxfaSxSaxaSa
≈≈+− получаем , что
()
()
/
0
()()exp()exp()
FtfatSaSadt
ε
τ≈
∫
. Заметим, что
/
()0
Sa
<
. Вычисляя
последний интеграл, получаем
(
)
/
()exp()
(),
()
fatSa
Ftt
tSa
=−→+∞
. (18)
Строгий вывод формул (17) и (18) приведен в следующих разделах.
Эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для
интегралов Лапласа . Нам удалось получить простые асимптотические
формулы для интегралов Лапласа . Простые формулы удалось получить по
следующим причинам:
1) подынтегральная функция в (16) имеет при больших
t
резкий
максимум (т.е. интеграл
I
) можно приближенно заменить интегралом по
малой окрестности точки максимума;
2) в окрестности точки максимума подынтегральную функцию
можно заменить более простой.
Простейшие оценки
Лемма 1. Пусть
sup()
axb
MSx
<<
=<∞
и при некотором
0
0
t
>
интеграл
(16) сходится абсолютно
[]
0
()exp()0
b
a
fxtSxdx
<
∫
. Тогда имеет место
оценка
(
)
0
(),
tM
Ftcett
≤≥
. 
                                                               20

Заметим, что S // ( x0 ) <0 . Последний интеграл равен
                          1 ε t    τ2                                                  ∞     τ2
                         −        −             2π                                          −
�� −tS   //
              ( x0�� )    2
                             ∫e     2
                                        dτ �               , (t → ∞) , так как         ∫e     2
                                                                                                  dτ = 2π .
                           −ε t
                                             −tS // ( x0 )                             −∞

              Итак, мы получили асимптотическую формулу
                                              2π
                                  F (t ) ≈ − //       f ( x0 )etS ( x0 ) ,     (t → +∞)     .             (17)
                                            tS ( x0 )
              2) Пусть теперь                   x0       совпадает с одним из концов отрезка                  I,
например, x0 =a , и пусть для простоты S / (a) ≠0 , f (a) ≠0 . Заменяя F (t )
интегралом по отрезку                          [a ; a +ε ] и заменяя приближенно на этом отрезке
функции                      f ( x) ≈ f (a ) ; S / ( x) ≈S ( a ) +( x −a ) S / (a )    получаем,          что
                                          ε
F (t ) ≈ f ( a )exp (tS (a ) ) ∫exp (τS / (a ) ) dt . Заметим, что S / (a ) <0 . Вычисляя
                                          0

последний интеграл, получаем
                                                          f (a)exp (tS (a ) )
                                              F (t ) =−                       , t → +∞ .                  (18)
                                                               tS / (a )
     Строгий вывод формул (17) и (18) приведен в следующих разделах.
Эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для
интегралов Лапласа. Нам удалось получить простые асимптотические
формулы для интегралов Лапласа. Простые формулы удалось получить по
следующим причинам:
     1) подынтегральная функция в (16) имеет при больших t резкий
максимум (т.е. интеграл I ) можно приближенно заменить интегралом по
малой окрестности точки максимума;
     2) в окрестности точки максимума подынтегральную функцию
можно заменить более простой.

                                                     Простейшие оценки

              Лемма 1. Пусть M =sup S ( x) <∞ и при некотором t0 >0 интеграл
                                                     a

Страницы