Асимптотические методы. Глушко А.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
0
ε
→
. Пусть
;,;
22
yxny
ππ
π

∈−=+


(
)
()
(
)
()
sin1sin
tg
coscos
1cos
n
n
nyy
y
x
nyy
y
π
π
+−
===
+
−
.
Исходное уравнение принимает после замены вид
sin1
;sinsincos;cossinsin;
cos
cossin1sin
;;(),
sincossin
y
yynyyyyyny
yny
yyyy
nfy
ynyyy
ππ
π
πε
π
=+=−=
+
−
===
−
где
sin
().
cossin
y
fy
yyy
=
−
1) Рассмотрим вначале вырожденный случай
0
ε
=
. Исходное
уравнение примет вид
()0
fy
=
, откуда
0
0
y
=
т.к.
;
22
y
ππ

∈−


. Имеем
(
)
(
)
() ()
2
/
22
coscossinsinsincossin
1sin
0.
cossincossin
y
yyyyyyyyy
y
f
yyyyyy
−+++
+
==≠
−−
Воспользуемся формулами Бурмана-Лагранжа
1
/
1
1
,1;
(0)
k
k
k
ycc
f
ε
∞
=
===
∑
()
2
2
11
0;0,.
n
yxnn
nn
εεπ
π

=+=++→∞


y
1
y
x
=
0
0
x
2
π
π
1
x
3
2
π
2
π
2
x
5
2
π
3
π
3
x
x
1
y
x
=
                                                       18

                  � π π�
ε → 0 . Пусть y ∈� − ; � , x =π n + y ;
                   � 2 2�
                    y


                                               1
                                          y=
                                               x




                                      π                      3π              5π
                             0   x0                π    x1          2π x2         3π   x3   x
                                      2                       2               2


           1
      y=
           x




                                sin (π n +y ) (−1) sin y sin y
                                                             n

                         tg x =              =          =      .
                               cos (π n +y ) (−1)n cos y cos y
           Исходное уравнение принимает после замены вид
      sin y       1
            =           ; y sin y +π n sin y =cos y ; cos y − y sin y =π n sin y ;
      cos y π n + y
            cos y − y sin y      1         sin y
      πn =                  ;      =                 ; ε = f ( y) ,
                 sin y          π n cos y − y sin y
                     sin y
где     f ( y) =               .
                cos y −y sin y
           1)   Рассмотрим вначале вырожденный случай ε =0 . Исходное
                                                                                � π π�
уравнение примет вид f ( y ) =0 , откуда                         y0 =0 т.к. y ∈� − ; � . Имеем
                                                                                 � 2 2�
       cos y (cos y −y sin y ) +sin y (sin y +y cos y +sin y )     1 +sin 2 y
 f y/ =                                                        =                   ≠0 .
                         (cos y −y sin y )                      (cos y −y sin y )
                                           2                                     2



           Воспользуемся формулами Бурмана-Лагранжа
       ∞
                                                                � 1�
                              =1; y =ε +0 (ε 2 ); xn =π n + +0 � � 2
                          1                                 1
y =∑ ck ε k , c1 =                                                                 , n → ∞.
      k =1
                         /
                        f (0)                              πn    � n�

Страницы