Асимптотические методы. Глушко А.В - 16 стр.

                                                 16

сводится к виду x m +am −1 x m −1 +am −2 x m−2 +a1 x1 +a0 , имеющему корни
α s , s =1, m . Предположим, что все эти корни однократные. Для
уточнения этих корней положим x =x0 +ε x1 +O(ε 2 ) , подставим последнее
представление в исходное уравнение, получим
            ε ( x0 +ε x1 +...) =( x0 +ε x1 +...) +am−1 ( x0 +ε x1 +...)
                                n                     m                         m −1
                                                                                       +
                +am −2 ( x0 +ε x1 +...)         +... +a1 ( x0 +ε x1 +...) +a0
                                         m −2



или
                      (x m
                         0   +am −1 x0m−1 +am−2 x0m −2 +a1 x0 +a0 ) +
    +ε (mx0m−1 +( m −1) x0m−2 +( m −2 ) am −2 x0m−3 +... +a1 ) x1 −ε x0n +0 (ε 2 ) =0 .
     Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях                                        ε,
получаем
                       x0m +am −1 x0m −1 +am−2 x0m −2 +... +a1 x0 +a0 =0 ,                      (12)
             �� mx0m −1 +(m −1) am−1 x0m−2 +(m −2 ) am −2 x m−3 +... +a1 �� x1 =x0n .           (13)

       Уравнение (12), как мы отмечали, имеет корни α s , s =1, m . Тогда из
(13) следует, что
                                                                                       −1
          x1 =α sn �� mx0m−1 +(m −1) am−1 x0m−2 +( m −2 ) am−2 x0m −3 +... +a1 ��           .
Таким образом,
                                                                                    −1
 x =α s +εα sn �� mα sm−1 +( m −1) am −1α sm −2 +(m −2 ) am −2α sm−3 +... +a1 ��         +O (ε 2 ). .
     Следует отметить, что последнее разложение становится
непригодным всякий раз, когда члены в квадратных скобках становятся
нулем. Это соответствует случаю кратного корня уравнения (12). При этом
разложение должно включать в себя дробные степени ε и строится в
соответствии с методикой, изложенной ранее в таких случаях.
     Прежде чем приступить к определению оставшихся n −m корней,
заметим, что они стремятся к бесконечности при ε → +0 , поскольку ε
стоит множителем при наибольшей степени неизвестной x . Поэтому
разложение для них будем искать в виде
                             y
                         x = ν +x0 +O(εν ) , ν >0 .                                             (14)
                            ε
       Подставляя (14) в исходное уравнение, получим